Основы научных исследований. Анкудинов И.Г - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

которая в дальнейшем может быть использована в расчетах как
характеристика электрической цепи в целом.
Задача аппроксимации возникает также и в случае, когда для относительно
сложной функции требуется получить более простое выражение, которое
легко интегрируется или анализируется тем или иным стандартным методом.
Например, разложение функции в
ряд Тейлора (2.1) и использование в
качестве аппроксимирующей функции только нескольких первых членов
этого ряда (2.2) позволяет существенно упростить исходную функцию для
дальнейшего анализа (2.3):
() ( ) ()
()
()
(
)
()
...
321211
0
3
0
0
2
0
0
0
0
+
′′′
⋅⋅
−
+
′′
⋅
−
+
′
−
+= xf
xx
xf
xx
xf
xx
xfxf
(2.1)
() ( ) ()
1
1
00
0
0
<<−
′
−
+≈ xxприxf
xx
xfxf
(2.2)
() ()
11cos;sin;1ln;11 <<≈≈≈++≈+ xприxxxxxnxx
n
. (2.3)
Очевидно, что качество аппроксимации может быть оценено двумя
показателями: точность аппроксимации и простота аппроксимирующей
функции, причем эти показатели противоречивы.
Процедура аппроксимации включает два этапа:
выбор типа аппроксимирующей функции (это может быть многочлен
степени n, в частности, при n=1 и n=2 это соответственно прямая и парабола,
экспонента, синусоида, гипербола, логарифмическая функция
и другие
функции);
выбор параметров аппроксимирующей функции (коэффициентов
многочлена, показателя экспоненты, амплитуды, частоты и фазы синусоиды
и т.д.), обеспечивающих наилучшее приближение аппроксимирующей
функции к исходным данным. При этом обязательно должен быть заранее
сформулирован критерий оценки качества приближения.
Если исходная экспериментальная или расчетная зависимость задана в виде
набора точек (x
i
, y
i
), i=1,2,…, k, где k - количество точек, то при
аппроксимации возникает естественное желание наиболее полно
использовать имеющуюся информацию: то есть подобрать такую функцию,
значения которой во всех точках x
i
совпадают со значениями y
i
. Эта задача
была решена во второй половине XVIII века французским математиком
Лагранжем, который предложил так называемый "интерполяционный
многочлен n-го порядка" в виде суммы (n+1) слагаемых:
()
()
(
)( )
()()( )
+
−⋅⋅−−
−⋅⋅−−
=
+
+
113121
132
1
...
...
n
n
n
xxxxxx
xxxxxx
yxP
()()( )
()()( )
++
−⋅⋅−−
−
⋅⋅−−
+
+
+
...
...
...
123212
131
2
n
n
xxxxxx
xxxxxx
y
()()
(
)
()()()
nnnn
n
n
xxxxxx
xxxxxx
y
−⋅⋅−−
−
⋅
⋅−−
+
+++
+
12111
21
1
...
...
. (2.4)
Интерполяционный многочлен (2.4) – частный случай аппроксимирующей
функции – позволяет вычислить значение f(x)=P
n
(x) для любого x (interpole –
между точками), причем в узлах интерполяции – точках (x
i
, y
i
) выполняется

Страницы