Основы научных исследований. Анкудинов И.Г - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Пример 2.2. Найти аппроксимирующую функцию в виде f(x)=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
,
наилучшую по критерию наименьших квадратов, для результатов измерений,
приведенных в табл.2.3.
Таблица 2.3
i
1 2 3 4 5
x
i
1 2 3 4 5
y
i
3,0 9,0 10,0 6,0 1,0
Запишем систему (2.10) для трех неизвестных a
0
, a
1
и a
2
.
()
1
0
5
⎧
⎨
⎩
2
210
=−−−
∑
=
=
i
iii
xaxaay
xy
∑
=
=
i
i
iiiii
xaxaxxy
0
5
i
i
i
i
i
i
i
i
i
yxaxa
yxxaxaa
0
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
yxxaxaa
2955155
210
i
a
− a
()
0
5
1
3
2
2
10
=−−−
∑
=
=
i
i
iiiii
xaxax
()
0
5
1
4
2
3
1
2
0
2
=−−
⎧
⎨
⎩
и преобразуем ее к стандартному виду
∑∑∑
=
=
=
=
=
=
=++
5
1
5
1
2
2
5
1
1
a
i
x
2
i
x
∑∑∑∑
=
=
=
=
=
=
=
=
=++
5
1
5
1
3
2
5
1
2
1
5
1
0
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
∑∑∑∑
=
=
=
=
=
=
=
=
=++
5
1
2
5
1
4
2
5
1
3
1
5
1
.
⎧
⎨
⎩
Подставив значения x
i
и y
i
из табл.2.3, получим систему
=
++ aaa
802255515
210
=++ aaa
25097922555
210
=++ aaa
,
решение которой a
0
≈
–5,6 , a
1
≈
10,9, a
2
≈
–1,93.
Таким образом, искомое приближение по методу наименьших квадратов есть
f(x)= –5,6 + 10,9 x –1,93 x
2
. На рис. 2.4 изображены точки, отражающие
исходные данные табл. 2.3, и график аппроксимирующей функции. Средний
квадрат модуля отклонения аппроксимирующей функции от
экспериментальных значений (среднеквадратическая ошибка) составляет
61,0== kV
σ
.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
012345
x
y
Рис. 2.4

Страницы