Основы научных исследований. Анкудинов И.Г - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СЗТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

До сих пор в качестве аппроксимирующей функции рассматривался
степенной многочлен, являющийся линейным относительно своих
параметров – коэффициентов a
0
, a
1
,…, a
n
.
Поэтому удавалось решить
аналитически линейную систему уравнений относительно этих параметров.
Однако, на практике, исходя из имеющихся экспериментальных данных и
априорной информации о физических законах, реализующихся в
эксперименте, могут быть выбраны и другие аппроксимирующие функции, в
которых параметры входят нелинейно.
Например, для результатов измерений, изображенных на рис. 2.5,а и б,
целесообразно
выбрать соответственно
bxa
xf
+
=
1
)(
, a, b > 0 (2.9)
bx
aecxf +=)(
b < 0, c > 0. (2.10)
Рис. 2.5
y
•
•
•
•
•
•
•
•
0 x
а)
y
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
0
•
x
б)
a<0
a>0
Подобные экспериментальные данные могут быть получены, соответственно
при измерении частотной зависимости коэффициента передачи электронной
схемы и при записи переходного теплового или электрического процессов.
Если непосредственно применить критерий наименьших квадратов для
выбора параметров предложенных функций, то мы столкнемся с системой
нелинейных уравнений, которая, возможно, не будет иметь аналитического
решения. В принципе эта ситуация не является тупиковой – можно
применить численные методы. Чтобы избежать этого, применяется метод
линеаризации.
Суть метода состоит в переходе к новым переменным, которые входили бы в
аппроксимирующую функцию линейно. Положив для функции (2.9) Y=1/y,
A
0
= a, A
1
= b, X = x, получим линейную зависимость Y= F(X)= A
0
+A
1
X,
эквивалентную исходной. Экспериментальные данные должны быть
пересчитаны по приведенным формулам (в данном случае только значения
Y
i
=1/y
i
),
и далее может быть применен критерий наименьших квадратов.
В случае (2.10) аналогичная линеаризация Y=F(X)= A
0
+ A
1
X достигается,
если положить Y = ln(y-c), A
0
= lna, A
1
= b, X = x. Чтобы пересчитать
экспериментальные данные по этим формулам необходимо предварительно
определить значение c. Обычно на практике значение c может быть
специально измерено. В противном случае это можно сделать, исходя из
рассмотрения экспериментальных данных, нанесенных в виде точек на
плоскость xoy, и, в дальнейшем уточнить значение c путем его вариаций.

Страницы