Методы прогнозирования социально-экономических процессов. Антохонова И.В. - 35 стр.

                 y€ = a0 + a1 x ,                              (4.2)            функцию для удобства можно представить в виде линей-
где х – объясняющая переменная. Коэффициенты а0 и а1                            ной множественной регрессии, проведя замену перемен-
являются оценками соответствующих параметров регрес-                            ных. Например, в полиноме y = a + b ⋅ x + c ⋅ x 2 + d ⋅ x 3 + u
сии                                                                             заменим x = z1 ; x 2 = z2 ; x 3 = z3 ; a = a0 ; b = a1; c = a2 ; d = a3 .
       При исследовании зависимости одной переменной                            Тогда уравнение можно записать в виде:
от нескольких объясняющих переменных x1, x2,..., xm при
                                                                                                      y€ = a0 + a1 z1 + a2 z2 + a3 z3 .
линейной зависимости уравнение регрессии принимает
вид:                                                                                  Второй класс регрессий характеризуется нелиней-
                     y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + ... + am xm .          (4.3)      ностью по оцениваемым параметрам. Эти регрессии назы-
                                                                                ваются существенно нелинейными регрессиями. Оценить
       Переменные x1, x2,..., xm оказывают совместное                           параметры обыкновенным методом наименьших квадратов
влияние на зависимую переменную y.                                              невозможно, т.к. имеют место нелинейные уравнения от-
       2. Нелинейная регрессия с нелинейными зависимо-                          носительно неизвестных параметров.
стями в уравнении регрессии. Различают два класса нели-                               Существенно нелинейными регрессиями являются
нейных регрессий. К первому классу относят регрессии,                           следующие функции, наиболее часто используемые для
нелинейные относительно включенных в уравнение объ-                             описания экономических процессов:
ясняющих переменных хк, но линейных относительно оце-
                                                                                      степенная функция y€ = ax b ;                                (4.5)
ниваемых параметров ак. Эти регрессии называются квази-
линейными или существенно линейными регрессиями.
Преимущество таких уравнений в том, что для них оста-                                   показательная функция y€ = ab x ;                         (4.6)
ются в силе все предпосылки классического линейного
регрессионного анализа. Параметры оцениваются непо-                                                                            a
средственно обыкновенным методом наименьших квадра-                                     логистическая функция y€ =                     ,
                                                                                                                           1 + be − cx
тов.
                                                                                                    a
       Примером данного типа регрессий являются поли-                                   или y =                                              (4.7)
                                                                                                1 + eb−cx
номы разных степеней y = a + b ⋅ x + c ⋅ x 2 + d ⋅ x 3 + u ; ги-
                                                                                        Использование регрессий данного класса связано с
                     b                                                          вычислительными трудностями, т.к. эти уравнения не до-
перболы y = a + + u .
                     x                                                          пускают непосредственного применения обыкновенного
       В общем виде квазилинейная регрессия записывает-                         метода наименьших квадратов. Линеаризация уравнения
ся в виде:                                                                      осуществляется посредством логарифмирования, для
          y€ = a0 + a1F1 ( x ) + a2 F2 ( x ) + ... + a p Fp ( x ) ,     (4.4)   функции (4) преобразование имеет следующий вид:
где F1 ( x ), F2 ( x ),... - функции от объясняющих переменных.                                          log y€ = log a + b ⋅ log x .       (4.8)
Они не содержат других параметров. Это могут быть                                       При замене log y€ = z€ ; log a = b0 ; log x = u , уравне-
                                               1                                ние     (4.8)    принимает         вид       линейной   функции
функции:          F1 ( x ) = sin x, F2 ( x ) =   и пр. Квазилинейную            z = b0 + bu .Логарифмирование показательной функции
                                               x
                                                                         71     72