Численные методы: математический анализ и дифференциальные уравнения. Антоник В.Г. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

n m ≤ n
α P
m
ϕ(α) =
n
X
i=0
³
P
m
(x
i
, α) − f(x
i
)
´
2
→ min
{α}
.
f(x)
α
∗
= (a
∗
0
, a
∗
1
, . . . , a
∗
m
)
P
m
(x, α
∗
)
m = n
n P
n
(x, α
∗
)
ϕ(α
∗
) = 0
m < n
P
m
(x, α
∗
)
α
∗
∂ϕ(α)
∂a
k
= 0 , k = 0, m .
n
X
i=0
³
P
m
(x
i
, α) − f(x
i
)
´
x
k
i
= 0 , k = 0, m .
a
0
, a
1
, . . . , a
m
ñòåïåíè íå âûøå n (m ≤ n).
   Äëÿ ïîèñêà êîýôôèöèåíòîâ α ìíîãî÷ëåíà Pm ñôîðìè-
ðóåì çàäà÷ó
                n ³
                X                        ´2
         ϕ(α) =     Pm (xi , α) − f (xi ) → min . (8)
                                                 {α}
                   i=0


   Çàäà÷à (8) íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé íàèëó÷øåãî ñðåäíåêâàä-
ðàòè÷íîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f (x). Åå ðåøåíèåì ÿâ-
ëÿåòñÿ íàáîð êîýôôèöèåíòîâ α∗ = (a∗0 , a∗1 , . . . , a∗m ). Ñîîò-
âåòñòâóþùèé ìíîãî÷ëåí Pm (x, α∗ ) íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëå-
íîì íàèëó÷øåãî ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî ïðèáëèæåíèÿ. Óêà-
çàííûé ñïîñîá àïïðîêñèìàöèè íîñèò íàçâàíèå ìåòîäà íà-
èìåíüøèõ êâàäðàòîâ.
    Îòìåòèì, ÷òî åñëè m = n (ñëó÷àé ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè
n), òî Pn (x, α∗ ) åñòü èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí è çíà-
÷åíèå çàäà÷è (8) ðàâíî íóëþ: ϕ(α∗ ) = 0.
    îáùåì ñëó÷àå (ïðè m < n) ìíîãî÷ëåí íàèëó÷øåãî
ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî ïðèáëèæåíèÿ Pm (x, α∗ ) ñóùåñòâóåò
è ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì. Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíòû α∗ ÿâ-
ëÿþòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû
                  ∂ϕ(α)
                           = 0 , k = 0, m .
                     ∂ak
 ðåçóëüòàòå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðèõîäèì ê óðàâíåíèÿì
         Xn ³                     ´
             Pm (xi , α) − f (xi ) xki = 0 , k = 0, m . (9)
          i=0


   Îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìà (9) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îòíîñè-
òåëüíî íåèçâåñòíûõ a0 , a1 , . . . , am .

                               13

Страницы