Численные методы: математический анализ и дифференциальные уравнения. Антоник В.Г. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

α = (a
0
,
a
1
, . . . , a
m
) P
m
ϕ(α) = max
0≤i≤n
|P
m
(x
i
, α) − f(x
i
)| → min
{α}
.
ϕ(α)
P
m
(x, α)
f(x) x
i
f(x)
α
∗
= (a
∗
0
, a
∗
1
, . . . , a
∗
m
)
P
m
(x, α
∗
)
f(x)
m
n
m = n P
n
(x, α
∗
)
ϕ(α
∗
) = 0
m = n − 1
P
n−1
(x, α
∗
)
α
∗
a
0
+ a
1
x
0
+ . . . + a
m
x
m
0
+ h = f(x
0
) ,
a
0
+ a
1
x
1
+ . . . + a
m
x
m
1
− h = f(x
1
) ,
. . .
a
0
+ a
1
x
n
+ . . . + a
m
x
m
n
+ (−1)
n
h = f(x
n
) .
     Ñôîðìèðóåì çàäà÷ó ïîèñêà êîýôôèöèåíòîâ α = (a0 ,
a1 , . . . , am ) ìíîãî÷ëåíà Pm

           ϕ(α) = max |Pm (xi , α) − f (xi )| → min .         (12)
                   0≤i≤n                          {α}



   Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ϕ(α) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåëè÷èíó
ìàêñèìàëüíîãî îòêëîíåíèÿ ìíîãî÷ëåíà Pm (x, α) îò çíà÷å-
íèé àïïðîêñèìèðóåìîé ôóíêöèè f (x) ïî âñåì òî÷êàì xi ,
òî ñìûñë çàäà÷è (12) ñîñòîèò â ìèíèìèçàöèè ýòîãî îòêëî-
íåíèÿ.
   Çàäà÷à (12) íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé íàèëó÷øåãî ðàâíîìåð-
íîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f (x). Ïîíÿòíî, ÷òî åå ðåøå-
íèå ñîñòàâëÿåò íàáîð êîýôôèöèåíòîâ α∗ = (a∗0 , a∗1 , . . . , a∗m ).
Ïðè ýòîì ìíîãî÷ëåí Pm (x, α∗ ) íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì
íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè f (x).
   Ðåøåíèå çàäà÷è (12) çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó m
è n.
   Åñëè m = n, òî Pn (x, α∗ ) åñòü èíòåðïîëÿöèîííûé ìíî-
ãî÷ëåí (ϕ(α∗ ) = 0).
   Âûäåëèì ñèòóàöèþ, êîãäà m = n − 1. Ñîîòâåòñòâóþ-
ùàÿ çàäà÷à íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé ÷åáûøåâñêîé èíòåðïîëÿ-
öèè.  ýòîì ñëó÷àå ìíîãî÷ëåí íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ
Pn−1 (x, α∗ ) ñóùåñòâóåò è ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì. Êîýô-
ôèöèåíòû α∗ ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ëèíåéíîé ñèñòåìû
   
   
      a 0 + a 1 x0 + . . . + a m xm
                                   0 + h      = f (x0 ) ,
                                  m
       a0 + a1 x1 + . . . + am x1 − h         = f (x1 ) ,
                                                          (13)
   
                    ...
   
       a0 + a1 xn + . . . + am xm          n
                                   n + (−1) h = f (xn ) .


                                17

Страницы