Численные методы: математический анализ и дифференциальные уравнения. Антоник В.Г. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

h
P (x, α
∗
) f(x) x
i
, i = 0, n
|h| ϕ(α
∗
) = |h|
m < n −1
P
m
(x, α
∗
)
α
∗
P
m
m + 2 {x
i
0
, . . . , x
i
m+1
} {x
0
, . . . , x
n
}
m = n
m = n −1
m < n − 1
m + 2 {x
0
, x
1
, . . . , x
n
}
P
m
(x, α
∗
k
), k = 1, 2, . . .
φ(α
∗
k
)
f(x)
x
i
f
i
ãäå h  íåèçâåñòíàÿ âåëè÷èíà.  äàííîì ñëó÷àå îòêëîíåíèå
ìíîãî÷ëåíà P (x, α∗ ) îò ôóíêöèè f (x) â óçëàõ xi , i = 0, n
ñîñòàâëÿåò ïîñòîÿííóþ âåëè÷èíó |h|. Ïîýòîìó ϕ(α∗ ) = |h|.
   Ðàññìîòðèì îáùèé ñëó÷àé, êîãäà m < n − 1. Çäåñü òàê-
æå ìíîãî÷ëåí íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ Pm (x, α∗ ) ñóùå-
ñòâóåò è ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì. Êîýôôèöèåíòû α∗ èùóò-
ñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ìíîãî÷ëåí Pm îñóùåñòâëÿë ÷å-
áûøåâñêóþ èíòåðïîëÿöèþ íà íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòè èç
m + 2 óçëîâ {xi0 , . . . , xim+1 } èñõîäíîãî íàáîðà {x0 , . . . , xn }.
     çàêëþ÷åíèå, ïðèâåäåì ñõåìó ïîñòðîåíèÿ ìíîãî÷ëå-
íà íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ:
1) åñëè m = n, òî íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü èíòåðïîëÿöèîí-
íûé ìíîãî÷ëåí (â ôîðìå Ëàãðàíæà èëè Íüþòîíà);
2) åñëè m = n − 1, òî èìååì çàäà÷ó ÷åáûøåâñêîé èíòåðïî-
ëÿöèè, ðåøåíèå êîòîðîé ïðîâîäèòñÿ ÷åðåç ðåøåíèå ëèíåé-
íîé ñèñòåìû (13);
3) åñëè m < n − 1, òî, ïåðåáèðàÿ âñåâîçìîæíûå íàáîðû
èç m + 2 òî÷åê çàäàííîé ñèñòåìû óçëîâ {x0 , x1 , . . . , xn },
ðåøèì çàäà÷è ÷åáûøåâñêîé èíòåðïîëÿöèè.  ðåçóëüòàòå
áóäóò ïîñòðîåíû ìíîãî÷ëåíû Pm (x, αk∗ ), k = 1, 2, . . . . Äëÿ
êàæäîãî èç ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ âû÷èñëèì âåëè÷èíó ìàêñè-
ìàëüíîãî îòêëîíåíèÿ φ(αk∗ ) ïî ïðàâèëó (12). Ñðåäè ïîëó-
÷åííûõ çíà÷åíèé âûáåðåì íàèìåíüøåå. Ñîîòâåòñòâóþùèé
ìíîãî÷ëåí áóäåò ÿâëÿòüñÿ ìíîãî÷ëåíîì íàèëó÷øåãî ïðè-
áëèæåíèÿ.

   Ïðèìåð 6. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)

                    xi        -1        0        1
                    fi         0        1        4


                                   18

Страницы