Численные методы: математический анализ и дифференциальные уравнения. Антоник В.Г. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

p(x) q(x)
x
0
, x
1
, . . . , x
n
n
X
k=0
p(x
k
)q(x
k
) = 0 .
p
0
(x), p
1
(x), . . . ,
p
m
(x)
x
i
i = 0, n
n
X
k=0
p
i
(x
k
)p
j
(x
k
) = 0 , i, j = 0, m , i 6= j .
p
i
(x),
i = 0, m
s
kj
= 0, k 6= j
α
∗
a
∗
0
=
n
P
i=0
f
i
p
0
(x
i
)
n
P
i=0
p
2
0
(x
i
)
, . . . , a
∗
m
=
n
P
i=0
f
i
p
m
(x
i
)
n
P
i=0
p
2
m
(x
i
)
.
{x
i
}, i = 0, n
p
0
(x) = 1 , p
1
(x) = x − b ,
p
i
(x) = (x − c
i
)p
i−1
(x) − d
i
p
i−2
(x) , i = 2, m ,
  Îïðåäåëåíèå 1. Ôóíêöèè p(x) è q(x) íàçûâàþòñÿ îð-
òîãîíàëüíûìè íà ìíîæåñòâå òî÷åê x0 , x1 , . . . , xn , åñëè
                            n
                            X
                                     p(xk )q(xk ) = 0 .
                             k=0


   Îïðåäåëåíèå 2. Ñèñòåìà ôóíêöèé p0 (x), p1 (x), . . . ,
pm (x) íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé îòíîñèòåëüíî íàáîðà
xi , i = 0, n, åñëè
          n
          X
                  pi (xk )pj (xk ) = 0 , i, j = 0, m , i 6= j .
          k=0


   Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà áàçèñíûõ ôóíêöèé pi (x),
i = 0, m ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé. Òîãäà ìàòðèöà ëèíåé-
íîé ñèñòåìû (15) ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíîé: skj = 0, k 6= j . Â
ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ÿâíûì âûðàæåíèÿì äëÿ êîýôôè-
öèåíòîâ α∗ :
                  P
                  n                                       P
                                                          n
                      fi p0 (xi )                             fi pm (xi )
                  i=0                                     i=0
        a∗0   =    Pn                 , ... ,   a∗m   =    Pn               .   (16)
                         p20 (xi )                              p2m (xi )
                   i=0                                    i=0


   Íàêîíåö, óêàæåì îäèí èç âàðèàíòîâ íàáîðà îðòîãî-
íàëüíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé  ìíîãî÷ëåíû ×åáûøåâà íà
ìíîæåñòâå òî÷åê {xi }, i = 0, n:

                      p0 (x) = 1 , p1 (x) = x − b ,

       pi (x) = (x − ci )pi−1 (x) − di pi−2 (x) , i = 2, m ,

                                          21

Страницы