Численные методы: математический анализ и дифференциальные уравнения. Антоник В.Г. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

L
0,i
(x) (x
i
, f(x
i
))
S(f) = h
n
X
i=1
f(x
i
) .
|R(f)| ≤
h
2
(b − a)
24
max
a
≤
x
≤
b
|f
00
(x)|.
1 2
f(x)
L
1,i
(x) f(x
i−1
), f(x
i
)
L
1,i
(x) =
1
h
[(x − x
i−1
)f(x
i
) − (x − x
i
)f(x
i−1
)] .
x
i
Z
x
i−1
f(x)dx ≈
x
i
Z
x
i−1
L
1,i
(x)dx =
f(x
i−1
) + f(x
i
)
2
h .
S(f) = h
Ã
f(x
0
) + f(x
n
)
2
+
n−1
X
i=1
f(x
i
)
!
.
è ïîñòðîèì ìíîãî÷ëåí L0,i (x) ñ ïîìîùüþ òî÷êè (xi , f (xi )).
Òîãäà èìååì êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó ñðåäíèõ ïðÿìîóãîëü-
íèêîâ                         n
                             X
                  S(f ) = h      f (xi ) .
                                        i=1

   Îöåíêà ïîãðåøíîñòè çäåñü èìååò âèä
                                h2 (b − a)
                |R(f )| ≤                  max |f 00 (x)| .
                                    24     a≤x≤b


   Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ôîðìóëû ëåâûõ è ïðàâûõ ïðÿìîó-
ãîëüíèêîâ èìåþò àëãåáðàè÷åñêóþ ñòåïåíü òî÷íîñòè ðàâ-
íóþ 1, à ôîðìóëà ñðåäíèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ  ðàâíóþ 2.


                         Ôîðìóëà òðàïåöèé

    Çàìåíèì f (x) åå èíòåðïîëÿöèîííûì ìíîãî÷ëåíîì
L1,i (x) ïî çíà÷åíèÿì f (xi−1 ), f (xi ). Ýòîò ìíîãî÷ëåí èìååò
âèä
                    1
       L1,i (x) =     [(x − xi−1 )f (xi ) − (x − xi )f (xi−1 )] .
                    h
Ïðè ýòîì
       Zxi                Zxi
                                               f (xi−1 ) + f (xi )
             f (x)dx ≈          L1,i (x)dx =                       h.
                                                        2
      xi−1               xi−1

 ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê êâàäðàòóðíîé ôîðìóëå òðàïåöèé
                   Ã                    n−1
                                                   !
                     f (x0 ) + f (xn ) X
         S(f ) = h                    +     f (xi ) .
                             2          i=1


                                      34

Страницы