Численные методы: математический анализ и дифференциальные уравнения. Антоник В.Г. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

|R(f)| ≤
h
2
(b − a)
12
max
a≤x≤b
|f
00
(x)|.
[x
i−1
, x
i
] x
i
=
x
i−1
+ x
i
2
L
2,i
(x)
x
i−1
, f(x
i−1
) x
i
, f(x
i
) x
i
, f(x
i
)
x
i
Z
x
i−1
f(x)dx ≈
x
i
Z
x
i−1
L
2,i
(x)dx =
h
6
(f(x
i−1
) + 4f(x
i
) + f(x
i
)) .
S(f) =
h
6
³
f(x
0
) + f(x
n
) + 2(f(x
1
) + . . . + f(x
n−1
))+
+4(f(x
1
) + . . . + f(x
n
))
´
.
|R(f)| ≤
h
4
(b − a)
2880
max
a≤x≤b
|f
IV
(x)|.
    Ïðèâåäåì îöåíêó ïîãðåøíîñòè

                                h2 (b − a)
                 |R(f )| ≤                 max |f 00 (x)| .
                                    12     a≤x≤b




                    Ôîðìóëà ïàðàáîë (Ñèìïñîíà)

    Ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì.                     Â ïðåäåëàõ îòðåçêà
                                                     xi−1 + xi
[xi−1 , xi ] âûäåëèì ñðåäíþþ òî÷êó xi =                        è ïîñòðî-
                                                         2
èì èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí L2,i (x) ïî òðåì òî÷êàì
(xi−1 , f (xi−1 )), (xi , f (xi )), (xi , f (xi )). Òîãäà
  Zxi                Zxi
                                          h
        f (x)dx ≈          L2,i (x)dx =     (f (xi−1 ) + 4f (xi ) + f (xi )) .
                                          6
xi−1                xi−1


 èòîãå êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà ïàðàáîë ïðèíèìàåò âèä

              h³
    S(f ) =      f (x0 ) + f (xn ) + 2(f (x1 ) + . . . + f (xn−1 ))+
              6
                                                 ´
                    +4(f (x1 ) + . . . + f (xn )) .

    Îöåíêà ïîãðåøíîñòè

                               h4 (b − a)
                |R(f )| ≤                 max |f IV (x)| .
                                  2880    a≤x≤b




                                      35

Страницы