Численные методы: математический анализ и дифференциальные уравнения. Антоник В.Г. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

m = 2
p
1
= p
2
=
1
2
, α
2
= 1, β
21
= 1
y
i+1
= y
i
+
h
2
³
f(x
i
, y
i
)+f(x
i
+h, y
i
+hf (x
i
, y
i
))
´
, i = 0, n − 1 .
p
1
= 0, p
2
= 0, α =
1
2
, β
21
=
1
2
y
i+1
= y
i
+ hf
³
x
i
+
h
2
, y
i
+
h
2
f(x
i
, y
i
)
´
, i = 0, n − 1 .
R ∼ O(h
2
)
y
i
= y
i−1
+ h
³
b
0
f
i
+ b
1
f
i−1
+ . . . + b
m
f
i−m
´
, i = m, n ,
f
i
= f (x
i
, y
i
) b
0
, b
1
, . . . , b
m
m
m = 1, 2, . . .
Ýòî ÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà.
    2) Ðàññìîòðèì ñëó÷àé m = 2 (äâóõýòàïíûé ìåòîä).
                        1
Ïîëîæèì p1 = p2 = , α2 = 1, β21 = 1. Òîãäà ôîðìóëà (6)
                        2
ïðèíèìàåò âèä
           h³                                        ´
yi+1 = yi + f (xi , yi )+f (xi +h, yi +hf (xi , yi )) , i = 0, n − 1 .
           2

   Îòìåòèì, ÷òî äðóãîå íàçâàíèå ìåòîäà  ìåòîä Ýéëåðà
ñ ïåðåñ÷åòîì.
                                              1          1
   Åñëè ïîëîæèòü p1 = 0, p2 = 0, α = , β21 = , òî
                                              2          2
ïðèõîäèì ê ôîðìóëå
                 ³    h      h            ´
   yi+1 = yi + hf xi + , yi + f (xi , yi ) , i = 0, n − 1 .
                      2      2
Ýòî ìåòîä ñðåäíåé òî÷êè.
    îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîðÿäîê ìåòîäîâ  âòîðîé: R ∼ O(h2 ).


3.3. Ìåòîäû Àäàìñà

   Îáùàÿ ñõåìà ìåòîäîâ Àäàìñà èìååò âèä
              ³                                 ´
 yi = yi−1 + h b0 fi + b1 fi−1 + . . . + bm fi−m , i = m, n , (7)

ãäå fi = f (xi , yi ). Êîýôôèöèåíòû b0 , b1 , . . . , bm ÿâëÿþòñÿ
ïàðàìåòðàìè ìåòîäà.
   Ôîðìóëà (7) îïðåäåëÿåò m-øàãîâûé ìåòîä Àäàìñà
(m = 1, 2, . . .).

                                 47

Страницы