Численные методы: математический анализ и дифференциальные уравнения. Антоник В.Г. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

[a, b]
y
00
− p(x)y = f(x) ,
y(a) = y
a
, y(b) = y
b
.
y = y(x) p(x)
f(x) y
a
, y
b
g
0
(x), g
1
(x), . . . ,
g
m
(x), x ∈ [a, b]
g
i
(x) [a, b]
g
0
(a) = y
a
, g
0
(b) = y
b
, g
i
(a) = 0, g
i
(b) = 0, i = 1, m
g
i
(x), i = 1, m
y(x, α) = g
0
(x) + a
1
g
1
(x) + . . . + a
m
g
m
(x) ,
α = (a
1
, a
2
, . . . , a
m
)
ϕ(x, α) = y
00
(x, α) − p(x)y(x, α) − f (x) .
Ÿ5. Ëèíåéíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ
óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà

   Ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà íà îòðåçêå [a, b]
                       y 00 − p(x)y = f (x) ,                  (1)
                      y(a) = ya , y(b) = yb .                  (2)
Çäåñü y = y(x)  íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ (ðåøåíèå), p(x),
f (x)  çàäàííûå ôóíêöèè, ya , yb  çàäàííûå ÷èñëà.
   Îïèøåì ìåòîä ïîèñêà ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è
(1)(2).


                       Ìåòîä êîëëîêàöèè

    Âûáåðåì íàáîð áàçèñíûõ ôóíêöèé g0 (x), g1 (x), . . . ,
gm (x), x ∈ [a, b], óäîâëåòâîðÿþùèõ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1) gi (x)  äâàæäû íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìû íà [a, b];
2) g0 (a) = ya , g0 (b) = yb , gi (a) = 0, gi (b) = 0, i = 1, m;
3) ôóíêöèè gi (x), i = 1, m  ëèíåéíî-íåçàâèñèìû.
   Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (1)(2) áóäåì èñêàòü â
âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè
          y(x, α) = g0 (x) + a1 g1 (x) + . . . + am gm (x) ,
ãäå α = (a1 , a2 , . . . , am )  âåêòîð ïàðàìåòðîâ.
   Îáðàçóåì ôóíêöèþ
           ϕ(x, α) = y 00 (x, α) − p(x)y(x, α) − f (x) .

                                 58

Страницы