Численные методы: математический анализ и дифференциальные уравнения. Антоник В.Г. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

ϕ(x, α)
y(x, α)
y(x)
a
1
, a
2
, . . . , a
m
ϕ(x, α) ≡ 0 , a ≤ x ≤ b ,
y(x, α) y(x, α) = y(x)
y(x, α)
(a, b) m x
1
, . . . , x
m
a < x
1
<
. . . < x
m
< b
ϕ
ϕ(x
i
, α) = 0 , i = 1, m .
a
1
, . . . , a
m
α
∗
= (a
∗
1
, . . . , a
∗
m
)
˜y(x) = y(x, α
∗
) = g
0
(x) + a
∗
1
g
1
(x) + . . . + a
∗
m
g
m
(x) .
s(x), a ≤ x ≤ b
Ls(x)
Ls(x)
4
= s
00
(x) − p(x)s(x) .
Ôóíêöèÿ ϕ(x, α) íàçûâàåòñÿ íåâÿçêîé ðåøåíèÿ, ïîñêîëü-
êó îíà õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü îòêëîíåíèÿ ôóíêöèè y(x, α)
îò òî÷íîãî ðåøåíèÿ y(x) çàäà÷è (1)(2). Åñëè ïðè íåêîòî-
ðûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ a1 , a2 , . . . , am âûïîëíèòñÿ òîæ-
äåñòâî
                ϕ(x, α) ≡ 0 , a ≤ x ≤ b ,
òî y(x, α) åñòü ðåøåíèå çàäà÷è (1)(2): y(x, α) = y(x). Â
ïðîòèâíîì ñëó÷àå (íåâÿçêà íå ðàâíà íóëþ) y(x, α) ÿâëÿåò-
ñÿ ïðèáëèæåííûì ðåøåíèåì.
      Ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âûáåðåì â ïðåäåëàõ
èíòåðâàëà (a, b) m òî÷åê x1 , . . . , xm ñ óñëîâèåì: a < x1 <
. . . < xm < b. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû â êàæäîé èç ýòèõ òî÷åê
íåâÿçêà ϕ îáðàùàëàñü â íóëü:

                      ϕ(xi , α) = 0 , i = 1, m .                      (3)

Ñèñòåìà (3) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ
a1 , . . . , a m .
   Ïóñòü α∗ = (a∗1 , . . . , a∗m )  ðåøåíèå ñèñòåìû (3). Òîãäà
ñôîðìèðóåì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (1)(2)

     ỹ(x) = y(x, α∗ ) = g0 (x) + a∗1 g1 (x) + . . . + a∗m gm (x) .

   Äàäèì àëüòåðíàòèâíóþ ôîðìó çàïèñè ñèñòåìû (3).
Ïóñòü s(x), a ≤ x ≤ b  íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà îáî-
çíà÷åíèå Ls(x) èìååò ñëåäóþùóþ ðàñøèôðîâêó
                            4
                    Ls(x) = s00 (x) − p(x)s(x) .

Ñ ó÷åòîì òàêîãî îáîçíà÷åíèÿ ñèñòåìó (3) ìîæíî ïðåäñòà-


                                  59

Страницы