Численные методы: математический анализ и дифференциальные уравнения. Антоник В.Г. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

g(x)
g(x) = L
n
(x)
4
=
n
X
i=0
f(x
i
)
n
Y
j=0,j6=i
x − x
j
x
i
− x
j
.
L
n
(x) = f(x
0
)
(x − x
1
) . . . (x − x
n
)
(x
0
− x
1
) . . . (x
0
− x
n
)
+
+f(x
1
)
(x − x
0
)(x − x
2
) . . . (x − x
n
)
(x
1
− x
0
)(x
1
− x
2
) . . . (x
1
− x
n
)
+ . . . +
+f(x
n
)
(x − x
0
) . . . (x − x
n−1
)
(x
n
− x
1
) . . . (x
n
− x
n−1
)
.
|R(x)| ≤
M
n+1
(n + 1)!
max
a≤x≤b
|ω
n+1
(x)|,
M
n+1
= max
a≤x≤b
|f
(n+1)
(x)|,
ω
n+1
(x) = (x − x
0
)(x − x
1
) . . . (x − x
n
) .
f(x)
x
i
f
i
       Èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà

   Çàïèøåì ìíîãî÷ëåí g(x) â ñëåäóþùåì âèäå [1]
                                n
                                X                n
                                                 Y
                            4                            x − xj
        g(x) = Ln (x) =               f (xi )                    .   (3)
                                i=0             j=0,j6=i
                                                         xi − xj


   Óêàæåì ðàçâåðíóòóþ ôîðìó çàïèñè ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ

                                 (x − x1 ) . . . (x − xn )
          Ln (x) = f (x0 )                                  +
                                (x0 − x1 ) . . . (x0 − xn )

                  (x − x0 )(x − x2 ) . . . (x − xn )
      +f (x1 )                                         + ...+
                 (x1 − x0 )(x1 − x2 ) . . . (x1 − xn )
                          (x − x0 ) . . . (x − xn−1 )
            +f (xn )                                   .
                         (xn − x1 ) . . . (xn − xn−1 )

   Îöåíêà ïîãðåøíîñòè â äàííîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ íå-
ðàâåíñòâîì
                            Mn+1
             |R(x)| ≤               max |ωn+1 (x)| ,                 (4)
                           (n + 1)! a≤x≤b

                    Mn+1 = max |f (n+1) (x)| ,
                                a≤x≤b

         ωn+1 (x) = (x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn ) .

   Ïðèìåð 1. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)

                    xi           1          2           3
                    fi           0          2           5

                                      6

Страницы