Численные методы: математический анализ и дифференциальные уравнения. Антоник В.Г. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

n = 2
L
2
(x)
L
2
(x) = 0 ·
(x − 2)(x − 3)
(1 − 2)(1 − 3)
+ 2 ·
(x − 1)(x − 3)
(2 − 1)(2 − 3)
+
+5 ·
(x − 1)(x − 2)
(3 − 1)(3 − 2)
=
1
2
x
2
+
1
2
x − 1 . ¤
f(x) =
√
x, x ∈ [1, 4]
x
0
= 1, x
1
= 4
n = 1
f(x)
x
i
f
i
L
1
(x) = 1 ·
x − 4
1 − 4
+ 2 ·
x − 1
4 − 1
=
1
3
x +
2
3
.
|R(x)| ≤
M
2
2!
max
1≤x≤4
|ω
2
(x)|.
Çàïèñàòü èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí â ôîðìå Ëàãðàí-
æà.
   Ðåøåíèå.
   äàííîì ñëó÷àå n = 2. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (3)
ôîðìèðîâàíèÿ âûðàæåíèÿ L2 (x):
                       (x − 2)(x − 3)     (x − 1)(x − 3)
        L2 (x) = 0 ·                  +2·                +
                       (1 − 2)(1 − 3)     (2 − 1)(2 − 3)
                  (x − 1)(x − 2)  1    1
           +5 ·                  = x2 + x − 1 . ¤
                  (3 − 1)(3 − 2)  2    2
                                               √
   Ïðèìåð 2. Äëÿ ôóíêöèè f (x) =        x, x ∈ [1, 4] ïî-
ñòðîèòü èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà ïî óçëàì
x0 = 1, x1 = 4. Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü èíòåðïîëèðîâàíèÿ.
   Ðåøåíèå.
     äàííîì ñëó÷àå n = 1 è òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè
f (x) èìååò âèä

                          xi       1       4
                          fi       1       2

Òîãäà
                          x−4     x−1  1  2
           L1 (x) = 1 ·       +2·     = x+ .
                          1−4     4−1  3  3
Òåïåðü îöåíèì ïîãðåøíîñòü èíòåðïîëèðîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ
íåðàâåíñòâà (4):
                               M2
                    |R(x)| ≤       max |ω2 (x)| .
                               2! 1≤x≤4

                                  7

Страницы