Теория вероятностей и математическая статистика. Аралбаева Г.Г. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

f(x) = 3х
2
при 0≤х≤1,
0 при х>1.
2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f(x), то ее
математическое ожидание определяется формулой:
М(Х)=
⌡
⌠
-∞
∞
х*f(x)*dx.
Так как функция f(x) при х<0 и при х>1 равна нулю, то из последней
формулы имеем
М(Х)=
⌡
⌠
0
1
х*f(x)*dx =
⌡
⌠
0
1
x*3x
2
*dx =
3x
4
4
1
0
=
3
4
.
3) Дисперсию D(X) определим по формуле:
D(X) =
⌡
⌠
-∞
∞
[x-M(X)]
2
*f(x)dx.
Тогда D(X)=
⌡
⌠
0
1
x-
3
4
2
*3x
2
dx = 3*
⌡
⌠
0
1
x-
3
2
x
3
+
9
16
x
2
dx =3*
x
5
5
-
3x
4
8
+
3x
3
16
1
0
=
=3*
1
5
-
3
8
+
3
16
=
3
80
.
Задача 12
Длина детали представляет собой нормально распределенную слу-
чайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадра-
тическим отклонением 3 мм.
Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет
больше 34 мм и меньше 43 мм;
2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее матема-
тического ожидания не более чем на 1.5 мм.
Решение. 1) Пусть Х- длина детали. Если случайная величина Х задана
дифференциальной функцией f(x), то вероятность того, что Х примет зна-
чения, принадлежащие отрезку [α; β], определяется по формуле:
Р(α ≤ Х ≤ β)=
⌡
⌠
α
β
f(x)dx. .
Вероятность выполнения строгих неравенств α <Х< β определяется той
же формулой. Если случайная величина Х распределена по нормальному
закону, то
Р(α ≤ Х ≤ β)=Ф
β-а
σ
-Ф
α-а
σ
,
12
                         f(x) = 3х2 при 0≤х≤1,
                                0 при х>1.
  2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f(x), то ее
математическое ожидание определяется формулой:
                                             ∞
                                 М(Х)= ⌠
                                       ⌡х*f(x)*dx.
                                             -∞

  Так как функция f(x) при х<0 и при х>1 равна нулю, то из последней
формулы имеем
                         1                   1  3x4   2   1    3
                        ⌠х*f(x)*dx =⌡
                   М(Х)=⌡           ⌠x*3x *dx =               =4.
                        0           0
                                                 4        0



     3) Дисперсию D(X) определим по формуле:
                                     ∞
                                             2
                             D(X) = ⌠
                                    ⌡[x-M(X)] *f(x)dx.
                                    -∞

               1                         1
                                                               5    4   3
            ⌠ 3               ⌠ 3     9           x 3x 3x  1
Тогда D(X)= x-4 2 *3x2dx = 3*x-2 x3+16 x2 dx =3* 5 - 8 + 16  0 =
            ⌡                 ⌡                               
               0                         0

                                    1 3 3       3
                                 =3*5 -8 +16  = 80 .
                                                     
    Задача 12
      Длина детали представляет собой нормально распределенную слу-
чайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадра-
тическим отклонением 3 мм.
   Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет
больше 34 мм и меньше 43 мм;
          2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее матема-
тического ожидания не более чем на 1.5 мм.
  Решение. 1) Пусть Х- длина детали. Если случайная величина Х задана
дифференциальной функцией f(x), то вероятность того, что Х примет зна-
чения, принадлежащие отрезку [α; β], определяется по формуле:
                                                  β
                             Р(α ≤ Х ≤ β)=⌠
                                          ⌡f(x)dx. .
                                                  α

Вероятность выполнения строгих неравенств α <Х< β определяется той
же формулой. Если случайная величина Х распределена по нормальному
закону, то
                                  β-а   α-а 
                    Р(α ≤ Х ≤ β)=Ф σ  -Ф σ  ,
                                            


12

Страницы