Теория вероятностей и математическая статистика. Аралбаева Г.Г. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Тема 6. Интервальное оценивание параметров распределения
Задача 13.
На контрольных испытаниях n = 20 ламп выявлено, что средний срок
службы ламп равен Х = 980 ч. Определите с надежностью γ = 0.97 границы
доверительного интервала для генеральной средней в предположении, что
срок службы ламп распределен по нормальному закону распределения с σ
= 18 ч.
Решение.
Интервальная оценка для математического ожидания при известной дис-
персии определяется в соответствии с формулой:
Р
х-t
γ
σ
√n
< µ< x + t
γ
σ
√n
= γ = Ф(t).
Далее, используя таблицу интегральной функции Лапласа, находим, что t
γ
= Ф
-1
( γ = 0.97 ) = 2.13, тогда: Р (980-2.13*
20
18
<µ<980+ +2.13*
20
18
) =
0.97.
Ответ: Р (970.62<µ<989.38) = 0.97.
Задача 14.
По результатам контроля n=9 деталей вычислено выборочное среднее
квадратическое отклонение S=5мм. В предположении, что ошибка изго-
товления деталей распределена нормально, определить с надежностью γ
=0.95 доверительный интервал для параметра σ.
Решение.
Так как n< 30, используется χ
2
- распределение. По таблице χ
2
– распреде-
ления нужно выбрать такие два значения χ
2
1
и χ
2
2
, чтобы площадь, заклю-
ченная по дифференциальной функцией распределения χ
2
между χ
2
1
и χ
2
2,
была равна γ = 1 – α.. Тогда
Р ( χ
2
> χ
2
1
) = 1-
α
2
= 1-
0.05
2
= 0.975;
P ( χ
2
> χ
2
2
) =
α
2
=
0.05
2
= 0.025.
По таблице χ
2
- распределения для числа степеней свободы ν = n-1= 8 и
найденных вероятностей 0.975 и 0.025 определяем, что
χ
2
1
= 2.180 и χ
2
2
=17.535.
Вычисляем χ
1
= √2.18 = 1.47 и χ
2
= √17.535 = 4.19.
Доверительный интервал (30) равен
47.1
5*9
19.4
5*9
≤≤
σ
14
 Тема 6. Интервальное оценивание параметров распределения

   Задача 13.
На контрольных испытаниях n = 20 ламп выявлено, что средний срок
службы ламп равен Х = 980 ч. Определите с надежностью γ = 0.97 границы
доверительного интервала для генеральной средней в предположении, что
срок службы ламп распределен по нормальному закону распределения с σ
= 18 ч.
   Решение.
Интервальная оценка для математического ожидания при известной дис-
персии определяется в соответствии с формулой:
         σ              σ 
   Р х-tγ√n < µ< x + tγ√n  = γ = Ф(t).
                           
Далее, используя таблицу интегральной функции Лапласа, находим, что tγ
                                                18                 18
= Ф-1( γ = 0.97 ) = 2.13, тогда: Р (980-2.13*       <µ<980+ +2.13*     )=
                                                 20                 20
0.97.
Ответ: Р (970.62<µ<989.38) = 0.97.
   Задача 14.
По результатам контроля n=9 деталей вычислено выборочное среднее
квадратическое отклонение S=5мм. В предположении, что ошибка изго-
товления деталей распределена нормально, определить с надежностью γ
=0.95 доверительный интервал для параметра σ.
   Решение.
Так как n< 30, используется χ2- распределение. По таблице χ2 – распреде-
ления нужно выбрать такие два значения χ21 и χ22, чтобы площадь, заклю-
ченная по дифференциальной функцией распределения χ2 между χ21 и χ22,
была равна γ = 1 – α.. Тогда
                                  2       α    0.05
                       Р ( χ2 > χ1 ) = 1-2 = 1- 2 = 0.975;
                                    2     α 0.05
                          P ( χ2 > χ2 ) = 2 = 2 = 0.025.
   По таблице χ2- распределения для числа степеней свободы ν = n-1= 8 и
найденных вероятностей 0.975 и 0.025 определяем, что
                              2           2
                             χ1 = 2.180 и χ2 =17.535.
     Вычисляем χ1 = √2.18 = 1.47 и χ2 = √17.535 = 4.19.
     Доверительный интервал (30) равен
                                   9*5       9*5
                                       ≤σ ≤
                                  4.19      1.47


14

Страницы