Теория вероятностей и математическая статистика. Аралбаева Г.Г. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

t
табл
=
х-m
0
s
√n-1 =
73-75
4
√11= -1.66.
Границу критической области найдем по таблице Стьюдента:
t
кр
= t
табл
= St
-1
(2α; ν = n-1) = St
-1
(0.1; 11) = 1.796.
Поскольку | t
табл
| < t
кр
, гипотеза Н
0
не отвергается, т.е. Н
0
: µ = 75 мин. не
противоречит наблюдениям;
в) мощность критерия для условия а) рассчитаем по формуле:
1-β =
1
2
1+ Ф
|µ
1
-µ
0
|
σ
√n-t
кр
, где t
кр
= Ф
-1
(1-2α) = Ф
-1
(0.9) = 1.6.
Таким образом:
1-β =
1
2
1+ Ф
|72-75|
4
√12-1.65 =
1
2
[1+ Ф(0.948)] =
1
2
[1+0.6579] =
= 0.828.
Мощность критерия для условия б) рассчитаем по формуле:
1-β = 1-
1
2
St
|µ
1
-µ
0
|
S
√n-1- t
кр
; n-1 , где t
кр
= St
-1
(2α ; n-1) = 1.796.
Таким образом:
1-β = 1-
1
2
St
|72-75|
4
√11-1.796;11 = 1-
1
2
St (0.681; 11) = 1-
1
2
0.51 =
= 0.745.
Задача 16.
При n = 7 независимых измерениях получены следующие результаты:
82.45; 82.30; 82.48; 82.05; 82.45; 82.60; 82.46 мм. В предположении, что
ошибки измерений имеют нормальное распределение и не содержат сис-
тематической ошибки, на уровнях значимости 0.05 проверьте гипотезу Н
0
:
σ
2
= 0.02, при конкурирующей гипотезе Н
1
: σ
2
= 0.05.
Решение.
Сначала рассчитаем значения:
х =
∑х
i
n
=
576.79
7
= 82.4 и S
2
=
∑(x
i
-x)
2
n
=
0.1875
7
= 0.027.
Для проверки гипотезы Н
0
: σ
2
= 0.02 мм
2
, при Н
1
: σ
2
= 0.05 мм
2
, выбирают
правостороннюю (σ
1
2
>σ
0
2
) критическую область, а, значение границы
критической области можно найти по таблице χ
2
-распределения: χ
2
кр
(α;n-1)
= χ
2
кр
(0.05;6) = 9.45.
Затем определяют наблюдаемое значение статистики критерия:
χ
2
набл
=
nS
2
σ
0
2
=
7*0.027
0.02
= 9.45.
Поскольку χ
2
набл
< χ
2
кр ,
гипотеза Н
0
не отвергается, т.е. предположение, что
σ
2
= 0.02 не противоречит опытным данным.
Задача 17.
Из продукции двух станков-автоматов, выпускающих однотипные из-
делия, взяты выборки объемом n
1
= 10 и n
2
= 13. По результатам выборок
найдены: Х
1
= 82.7мм., Х
2
=82.3мм., S
1
2
= 0.8 и S
2
2
= 1.1. В предположении о
16
                              х-m0          73-75
                  tтабл =        s   √n-1 =   4 √11= -1.66.
Границу критической области найдем по таблице Стьюдента:
                 tкр = tтабл = St-1(2α; ν = n-1) = St-1(0.1; 11) = 1.796.
Поскольку | tтабл | < tкр, гипотеза Н0 не отвергается, т.е. Н0: µ = 75 мин. не
противоречит наблюдениям;
 в) мощность критерия для условия а) рассчитаем по формуле:
       1       |µ1-µ0|         
1-β = 2 1+ Ф σ √n-tкр , где tкр= Ф-1(1-2α) = Ф-1(0.9) = 1.6.
                               
Таким образом:
        1       |72-75|              1                    1
 1-β = 2 1+ Ф 4 √12-1.65  = 2 [1+ Ф(0.948)] = 2 [1+0.6579] =
                                    
= 0.828.
Мощность критерия для условия б) рассчитаем по формуле:
          1    |µ1-µ0|
1-β = 1- 2 St S √n-1- tкр ; n-1 , где tкр= St-1(2α ; n-1) = 1.796.
Таким образом:
          1    |72-75|                         1                     1
1-β = 1- 2 St       4    √11-1.796;11     = 1- 2 St (0.681; 11) = 1- 2 0.51 =
= 0.745.
   Задача 16.
При n = 7 независимых измерениях получены следующие результаты:
82.45; 82.30; 82.48; 82.05; 82.45; 82.60; 82.46 мм. В предположении, что
ошибки измерений имеют нормальное распределение и не содержат сис-
тематической ошибки, на уровнях значимости 0.05 проверьте гипотезу Н0:
σ2 = 0.02, при конкурирующей гипотезе Н1: σ2 = 0.05.
   Решение.
Сначала рассчитаем значения:
     ∑хi 576.79                    2   ∑(xi-x)2 0.1875
х= n = 7              = 82.4 и S =        n     = 7 = 0.027.
Для проверки гипотезы Н0: σ2 = 0.02 мм2, при Н1: σ2 = 0.05 мм2, выбирают
правостороннюю (σ12 >σ02) критическую область, а, значение границы
критической области можно найти по таблице χ2-распределения: χ2кр (α;n-1)
= χ2кр (0.05;6) = 9.45.
Затем определяют наблюдаемое значение статистики критерия:
 2       nS2 7*0.027
χ набл = σ 2 = 0.02 = 9.45.
            0
Поскольку χ2набл < χ2кр , гипотеза Н0 не отвергается, т.е. предположение, что
σ2 = 0.02 не противоречит опытным данным.
   Задача 17.
    Из продукции двух станков-автоматов, выпускающих однотипные из-
делия, взяты выборки объемом n1= 10 и n2= 13. По результатам выборок
найдены: Х1= 82.7мм., Х2=82.3мм., S12= 0.8 и S22= 1.1. В предположении о


16

Страницы