Теория вероятностей и математическая статистика. Аралбаева Г.Г. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Параметры теоретического нормального закона распределения а и σ
2
,
являющиеся соответственно математическим ожиданием и дисперсией
случайной величины Х, неизвестны, поэтому заменяем их «наилучшими»
оценками по выборке – несмещенными и состоятельными оценками соот-
ветственно выборочной средней х и «исправленной» выборочной диспер-
сией σ
2
*
. Так как число наблюдений n = 100 достаточно велико, то вместо
исправленной σ
2
*
можно взять «обычную» выборочную дисперсию σ
b
2
. По
данному в условии распределению были вычислены х =
= 119.2( %), σ
b
2
= 87.96; σ
b
= 9.38( %).
Для расчета вероятностей р
i
попадания случайной величины Х в интервал
[x
i
, x
i+1
], где i= 1,2…,m, используем функцию Лапласа Ф(х). В соответствии
со свойством нормального распределения:
р
i
= р(х ≤ Х ≤ x
i+1
) =
1
2
Ф
x
i+1
-а
σ
-Ф
x
i
-а
σ
≈
≈
1
2
Ф
x
i+1
-119.2
9.38
-Ф
x
i
-119.2
9.38
.
Например,
р
i
= р(94 ≤ Х ≤ 104) =
1
2
Ф
104-119.2
9.38
-Ф
94-119.2
9.38
=
1
2
[Ф(-1.62)-
-Ф(-2.69)] =
1
2
(-0.8948+0.9928) = 0.049
и соответствующая первому интервалу теоретическая частота
np
1
=100*0.49 = 4.9. Аналогично вычисляем теоретические частоты np
i
в
других интервалах (i= 1,2…,m). Для определения статистики χ
2
удобно со-
ставить следующую таблицу:
Таблица 5
№№
I
Интервал
[x
i
, x
i+1
]
Эмпири-
ческие
частоты
n
i
Вероят-
ности
р
i
Теорети-
ческие
частоты
np
i
(n
i
- np
i
)
2
(n
i
- np
i
)
2
np
i
1
2
3
4
5
94-104
104-114
114-124
124-134
134-144
6
20
45
24
5
0.049
0.239
0.404
0.248
0.053
4.9
23.9
40.4
24.8
5.3
1.21
15.21
21.16
0.64
0.09
0.247
0.636
0.524
0.026
0.017
∑ 100 0.993 99.3
-
1.45
Итак, фактически наблюдаемое значение статистики χ
2
= 1.45. Так как чис-
ло интервалов m = 5, а нормальный закон распределения определяется 2
параметрами (которые мы оценили по выборке), то число степеней свобо-
ды k = m-2-1 = 5-2-1 = 2. Соответствующее критическое значение стати-
стики χ
2
по таблице Пирсона (из приложений) χ
2
0.05;2
= 5.99. Так как χ
2
<
χ
2
0.05;2
, то гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе распре-
деления с параметрами а =119.2 и σ
2
= 87.96 согласуется с опытными дан-
ными.
18
   Параметры теоретического нормального закона распределения а и σ2,
являющиеся соответственно математическим ожиданием и дисперсией
случайной величины Х, неизвестны, поэтому заменяем их «наилучшими»
оценками по выборке – несмещенными и состоятельными оценками соот-
ветственно выборочной средней х и «исправленной» выборочной диспер-
сией σ2* . Так как число наблюдений n = 100 достаточно велико, то вместо
исправленной σ2* можно взять «обычную» выборочную дисперсию σb2. По
данному в условии распределению были вычислены х =
= 119.2( %), σb2= 87.96; σb = 9.38( %).
Для расчета вероятностей рi попадания случайной величины Х в интервал
[xi, xi+1], где i= 1,2…,m, используем функцию Лапласа Ф(х). В соответствии
со свойством нормального распределения:
                                           1  xi+1-а  xi-а  
                    рi = р(х ≤ Х ≤ xi+1) = 2 Ф σ -Ф σ   ≈
                                                            
                             1  xi+1-119.2  xi-119.2  
                          ≈ 2 Ф 9.38 -Ф 9.38   .
                                                       
Например,
                           1  104-119.2  94-119.2   1
рi = р(94 ≤ Х ≤ 104) = 2 Ф 9.38 -Ф 9.38   = 2 [Ф(-1.62)-
                                                      
                                     1
                       -Ф(-2.69)] = 2 (-0.8948+0.9928) = 0.049
и соответствующая первому интервалу теоретическая частота
np1=100*0.49 = 4.9. Аналогично вычисляем теоретические частоты npi в
других интервалах (i= 1,2…,m). Для определения статистики χ2 удобно со-
ставить следующую таблицу:
Таблица 5
          Интервал      Эмпири-   Вероят-   Теорети-
     №№    [xi, xi+1]   ческие    ности     ческие     (ni- npi)2   (ni- npi)2
      I                 частоты     рi      частоты                     npi
                            ni                  npi
     1     94-104           6       0.049       4.9     1.21          0.247
     2     104-114          20      0.239      23.9     15.21         0.636
     3     114-124          45      0.404      40.4     21.16         0.524
     4     124-134          24      0.248      24.8     0.64          0.026
     5     134-144          5       0.053       5.3     0.09          0.017
              ∑            100      0.993      99.3        -          1.45
                                                           2
Итак, фактически наблюдаемое значение статистики χ = 1.45. Так как чис-
ло интервалов m = 5, а нормальный закон распределения определяется 2
параметрами (которые мы оценили по выборке), то число степеней свобо-
ды k = m-2-1 = 5-2-1 = 2. Соответствующее критическое значение стати-
стики χ2 по таблице Пирсона (из приложений) χ20.05;2= 5.99. Так как χ2<
χ20.05;2, то гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе распре-
деления с параметрами а =119.2 и σ2= 87.96 согласуется с опытными дан-
ными.



18

Страницы