Теория вероятностей и математическая статистика. Аралбаева Г.Г. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

нормальном законе распределения погрешности изготовления требуется на
уровне значимости α = 0.01 проверить гипотезу Н
0
: µ
1
= µ
2
, при конкури-
рующей гипотезе Н
1
: µ
1
≠ µ
2
.
Решение.
Проверка гипотезы Н
0
: µ
1
= µ
2
возможна, если дисперсии неизвестны, но
равны σ
1
2
= σ
2
2
. Это значит, что сначала надо проверить гипотезу Н
0
: σ
1
2
=
σ
2
2
, при Н
1
: σ
1
2
> σ
2
2
. Наблюдаемое значение статистики рассчитаем по
формуле:
F
набл
=
Ŝ
2
1
S
2
2
=
(10/9)0.8
(13/12)1.1
=
0.89
1.19
, очевидно, что в этом случае, мы получим,
что F
набл
<1, но по определению F >1. Следовательно, необходимо пере-
именовать совокупности. Тогда F
набл
=1.19/0.89 = =1.33.
Затем по таблице Фишера-Снедекора находим F
кр
(α;n
2
-1;n
1
-1) =
= F
кр
(0.01;12;9) = 5.11. Поскольку F
набл
< F
кр,
то гипотеза Н
0
не противоре-
чит опытным данным. Далее примем, что σ
1
2
= σ
2
2
. Теперь можно перейти
к проверке гипотезы Н
0
: µ
1
= µ
2
, при неизвестных, но равных дисперсиях.
Альтернативная гипотеза Н
1
: µ
1
≠ µ
2
свидетельствует о том, что следует
выбирать двухстороннюю критическую область, симметричную относи-
тельно нуля. Граница критической области будет найдена из условия, что
t
кр
= St
-1
(α ;ν = n
1
+ n
2
-2) = St
-1
(0.01; 21) = 2.831.
Найдем наблюдаемое значение статистики критерия по формуле:
t
набл
=
x
1
-x
2
n
1
S
2
1
+n
2
S
2
2
n
1
+n
2
-2
n
1
n
2
n
1
+n
2
=
82.7-82.3
10*0.8+13*1.1
10+13-2
10*13
10+13
=
0.4
8+14.3
21
130
23
=
=0.89.
Поскольку | t
набл
|< t
кр
, то гипотеза Н
0
: µ
1
= µ
2
не противоречит опытным
данным. Приняв гипотезу µ
1
= µ
2
, можно утверждать, что выборки объемом
n
1
и n
2
принадлежат одной генеральной совокупности.
Задача 18.
Получено следующее распределение 100 рабочих цеха по выработке в
отчетном году (в процентах к предыдущему году):
Таблица 4
Выработка в отчет-
ном году(в % к пре-
дыдущему году)
94-104
104-114
114-124
124-134
134-14
4
∑
Количество
рабочих
6
20
45
24
5
100
На уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу о нормальном распре-
делении случайной величины Х – выработки рабочих – с помощью крите-
рия χ
2
Пирсона.
Решение.
17
нормальном законе распределения погрешности изготовления требуется на
уровне значимости α = 0.01 проверить гипотезу Н0: µ1 = µ2, при конкури-
рующей гипотезе Н1: µ1 ≠ µ2.
   Решение.
    Проверка гипотезы Н0: µ1 = µ2 возможна, если дисперсии неизвестны, но
равны σ12 = σ22. Это значит, что сначала надо проверить гипотезу Н0: σ12 =
σ22, при Н1: σ12 > σ22. Наблюдаемое значение статистики рассчитаем по
формуле:
         Ŝ21 (10/9)0.8 0.89
Fнабл = S2 = (13/12)1.1 = 1.19 , очевидно, что в этом случае, мы получим,
            2
что Fнабл <1, но по определению F >1. Следовательно, необходимо пере-
именовать совокупности. Тогда Fнабл =1.19/0.89 = =1.33.
Затем по таблице Фишера-Снедекора находим Fкр(α;n2-1;n1-1) =
= Fкр (0.01;12;9) = 5.11. Поскольку Fнабл < Fкр, то гипотеза Н0 не противоре-
чит опытным данным. Далее примем, что σ12 = σ22. Теперь можно перейти
к проверке гипотезы Н0: µ1 = µ2, при неизвестных, но равных дисперсиях.
Альтернативная гипотеза Н1: µ1 ≠ µ2 свидетельствует о том, что следует
выбирать двухстороннюю критическую область, симметричную относи-
тельно нуля. Граница критической области будет найдена из условия, что
tкр= St-1(α ;ν = n1 + n2-2) = St-1 (0.01; 21) = 2.831.
Найдем наблюдаемое значение статистики критерия по формуле:
             x1-x2      n1n2         82.7-82.3      10*13 0.4    130
tнабл = n S2 +n S2 n +n = 10*0.8+13*1.1 10+13 = 8+14.3 23 =
          1 1    2 2     1   2
           n1+n2-2                   10+13-2              21
=0.89.

Поскольку | tнабл |< tкр, то гипотеза Н0: µ1 = µ2 не противоречит опытным
данным. Приняв гипотезу µ1 = µ2, можно утверждать, что выборки объемом
n1 и n2 принадлежат одной генеральной совокупности.
   Задача 18.
   Получено следующее распределение 100 рабочих цеха по выработке в
отчетном году (в процентах к предыдущему году):
Таблица 4

Выработка в отчет-
ном году(в % к пре-   94-104   104-114   114-124   124-134   134-144    ∑
дыдущему году)

Количество               6       20         45        24        5      100
рабочих
На уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу о нормальном распре-
делении случайной величины Х – выработки рабочих – с помощью крите-
рия χ2 Пирсона.
  Решение.


                                                                             17

Страницы