Теория вероятностей и математическая статистика. Аралбаева Г.Г. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

S
1
= 9.49; S
2
= 26.68. Теперь найдем оценку коэффициента парной корреля-
ции:
r
12
=
х
1
х
2
- х
1
* х
2
S
1
* S
2
=
1875-34.375*48.125
9.49*26.68
= 0.871.
б) для проверки гипотезы Н
0
: r
12
= 0 найдем r
кр
по таблице Фишера-Иейтса.
При условии, что α = 0.01, ν = n-2 = 6, r
кр
=0.707. Поскольку r
12
= 0.871 > r
кр
=
0.707, то Н
0
: r
12
= 0 отвергается, т.е. предположение о равенстве его нулю
противоречит наблюдениям;
в) для определения доверительного интервала для коэффициента парной
корреляции генеральной совокупности ρ воспользуемся Ζ-
преобразованием Фишера. Согласно таблице значению r
12
= 0.871 соответ-
ствует z’=1.3331. Затем найдем интервальную оценку для z по выраже-
нию:
z’- t
γ
1
n-3
≤ z ≤ z’+ t
γ
1
n-3
.
Величину t
γ
определяем по таблице интегральной функции Лапласа из ус-
ловия, что Ф(t
γ
) = γ = 0.95. В этом случае: t
γ
= 1.96.Тогда:
1.3331- 0.877 ≤ z ≤ 1.3331+0.877, 0.46 ≤ z ≤ 2.21. Далее воспользуемся таб-
лицей z -преобразования Фишера для обратного перехода от z к ρ, т.е. 0.43
≤ ρ ≤ 0.98. Интервальная оценка подтверждает вывод о значимости коэф-
фициента корреляции, т.к. полученная оценка коэффициента корреляции
входит в полученный интервал.
Задача 20.
По результатам 8 наблюдений была построена корреляционная матрица
,
−−
−
−
=
1879.0874.0
879.01871.0
874.0871.01
R
а) при
α = 0.05 проверить значимость частных коэффициентов корреляции
ρ
12/3
, ρ
13/2
и ρ
23/1
и при γ = 0.95 построить интервальную оценку для ρ
13/2
;
б) найти точечную оценку множественного коэффициента корреляции
ρ
1/23
и при
α = 0.05 проверить его значимость.
Решение. Найдем точечные оценки частных коэффициентов корреля-
ции из выражения:
2211
12
3/12
RR
R
r −=
, где R
12
– алгебраическое дополнение
элемента r
12
корреляционной матрицы R, а R
11
и R
22
алгебраические допол-
нения 1-го и 2-го диагонального элемента этой матрицы.
103.0
1874.0
879.0871.0
)1(
3
12
−=
−
−
−=R
227.0
1879.0
879.01
)1(
2
11
=
−
−
−=R
20
S1= 9.49; S2= 26.68. Теперь найдем оценку коэффициента парной корреля-
ции:
      х1 х2- х1* х2 1875-34.375*48.125
r12 =    S1* S2     =      9.49*26.68      = 0.871.
б) для проверки гипотезы Н0: r12 = 0 найдем rкр по таблице Фишера-Иейтса.
При условии, что α = 0.01, ν = n-2 = 6, rкр=0.707. Поскольку r12= 0.871 > rкр=
0.707, то Н0: r 12 = 0 отвергается, т.е. предположение о равенстве его нулю
противоречит наблюдениям;
в) для определения доверительного интервала для коэффициента парной
корреляции        генеральной      совокупности      ρ    воспользуемся      Ζ-
преобразованием Фишера. Согласно таблице значению r12= 0.871 соответ-
ствует z’=1.3331. Затем найдем интервальную оценку для z по выраже-
нию:
         1                  1
z’- tγ n-3 ≤ z ≤ z’+ tγ n-3 .
Величину tγ определяем по таблице интегральной функции Лапласа из ус-
ловия, что Ф(tγ) = γ = 0.95. В этом случае: tγ = 1.96.Тогда:
1.3331- 0.877 ≤ z ≤ 1.3331+0.877, 0.46 ≤ z ≤ 2.21. Далее воспользуемся таб-
лицей z -преобразования Фишера для обратного перехода от z к ρ, т.е. 0.43
≤ ρ ≤ 0.98. Интервальная оценка подтверждает вывод о значимости коэф-
фициента корреляции, т.к. полученная оценка коэффициента корреляции
входит в полученный интервал.
    Задача 20.
По результатам 8 наблюдений была построена корреляционная матрица
    1          0.871 − 0.874
    
R = 0.871        1   − 0.879  ,
    − 0.874 − 0.879 1        
а) при α = 0.05 проверить значимость частных коэффициентов корреляции
ρ12/3, ρ13/2 и ρ23/1 и при γ = 0.95 построить интервальную оценку для ρ13/2 ;
б) найти точечную оценку множественного коэффициента корреляции ρ1/23
и при α = 0.05 проверить его значимость.
    Решение. Найдем точечные оценки частных коэффициентов корреля-
                                     R
ции из выражения: r12 / 3 = −   12 , где R – алгебраическое дополнение
                                          12
                              R R
                               11 22
элемента r12 корреляционной матрицы R, а R11 и R22 алгебраические допол-
нения 1-го и 2-го диагонального элемента этой матрицы.
             0.871 − 0.879
R12 = (−1) 3                = −0.103
             − 0.874 1
                  1 − 0.879
R11 = (−1) 2                = 0.227
             − 0.879 1




20

Страницы