Теория вероятностей и математическая статистика. Аралбаева Г.Г. - 8 стр.

Искомая вероятность равна
Р(А) = 1,2916 + 0,6561= 0,9477;
Задача 6. Вероятность изготовления качественных изделий равна 0.95
Найти вероятность того, что          в партии из 200 изделий 170
будут качественными.
 Решение. Применить формулу Бернулли в данной задаче затруднитель-
но, так как надо будет возводить в 200- ую степень число 0.95.
    В таких случаях применяется приближенная формула - локальная
теорема Лапласа:
                     1
P n (m)=                     * φ(x),
                 n* p*q
                                      x2
                         1        −                         m − n* p
где φ(x) =                   *e       2
                                             и         x=              .
                      2 *π                                   n* p*q
Из условия задачи р = 0,9; q = 1-р = 0,1; n = 200; m=170.
                     170 − 200 * 0.9
Тогда, Х =                                 = - 2,375
                      200 * 0.9 * 0.1
Из таблицы 1 приложений находим φ(- 2,357) = φ ( 2,357) = 0,0246
                                                                        1 * 0.0246
Искомая вероятность равна P 200 (170)                            ≈                       ≈ 0.06
                                                                       200 * 0.9 * 0.1
 Задача 7.
 Среди изделий одежды 0,02% имеющих дефекты. Какова вероятность то-
го, что при случайном отборе 10000 изделий будет обнаружено 5 с дефек-
том?
Решение. Применение локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятно-
сти Р = 0,0002 приводит к значительному отклонению вероятности от точ-
ного значения P n (m). Поэтому при малых значениях Р для вычисления
P n (m) применяют асимптотическую формулу Пуассона:
                                                       λm −λ
                                           P n (m) =      *e ,
                                                       λ!
где е = 2,7182; λ = n*p.
Эта формула используется при λ < = 10
Таким образом Р = 0,0002 ; n= 10000; m=5;
                     2 5 −2   32
P           (10) =      *e =     = 0.135 = 0.036
    10000
                     5!      120
Задача 8. Вероятность изготовления качественных изделий = 90%.
Найти вероятность того, что из 500 изделий качественных будет от 400 до
440.
Решение. Если вероятность наступления события А в каждом из n испы-
таний постоянна и равна Р , то вероятность P n ( m 1 ≤ m ≤ m2 ) того, что собы-
тие А в таких испытаниях наступит не менее m 1 раз и не более m2 раз
определяется по интегральной теореме Лапласа.

8