Теория вероятностей и математическая статистика. Аралбаева Г.Г. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

P ( )
n
k
1
2
kk ≤≤
,
*2
1
2
2
dxe
x
∫
−
≈
β
α
π
где ,
**
*
1
qpn
pnk −
=
α
=
β
,
**
*
2
qpn
pnk
−
Функция
dtex
x
t
∫
−
=Φ
0
2
2
*2
1
)(
π
называется функцией Лапласа. В приложени-
ях (таблица 1) даны значения этой функции для
05
≤
≤
x . При х >5 функция
= 0,5 . При отрицательных значениях х в силу нечетности функции
Лапласа
)(xΦ
)()( xx Φ
−
=−
2
k≤
() (
Φ
k
. Используя функцию Лапласа, имеем:
P
( )
n
k
1
≤
)
α
β
Φ−Φ≈ .
По условию задачи n = 500; р = 0,9; q=0.1;
= 400; = 440. k
1
2
k
По приведенным выше формулам находим
α
и
β
:
α
= 45.7
1.0*9.0*500
9.0*500400
−≈
−
;
β
= 49.1
1.0*9.0*500
9.0*500440
−≈
−
.
Тогда
Р
()()
(
)
(
)
(
)
=
Φ
+
Φ
−
=
−
Φ
−
−Φ≈
≤
≤ 45.749.145.749.1440400
500
k
= - 0,4319 + 0,5 = 0,0681.
Вопросы для самопроверки по темам 1-4
1. Что называется событием? Приведите примеры событий; невозможных
событий.
2. Какие события называются несовместимыми? Совместимыми? Проти-
воположными?
3. Что называется относительной частотой события?
4. Сформулируйте классическое определение вероятности события.
5. Что называется условной вероятностью события?
6. Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для зависимых и не-
зависимых событий.
7. Напишите формулу полной вероятности.
8. Как найти наивероятнейшее число наступлений события при повторных
испытаниях?
9. Напишите формулу Бернулли. В каких случаях она применяется?
10. Сформулируйте локальную и интегральную теоремы Лапласа.
11. Напишите формулу Пуассона. В каких случаях она применяется?
9
                                      β            x2
                              1                −                      k1 − n * p          k2 − n * p
Pn (k 1 ≤ k ≤ k 2 )≈               ∫e
                              2 *π α
                                                   2
                                                        dx, где α =
                                                                       n* p*q
                                                                                   , β=
                                                                                           n* p*q
                                                                                                       ,

                                  x           t2
                          1               −
Функция Φ( x) =
                         2 *π
                                  ∫e
                                  0
                                               2
                                                   dt называется функцией Лапласа. В приложени-

ях (таблица 1) даны значения этой функции для 0 ≤ x ≤ 5 . При х >5 функция
Φ (x) = 0,5 . При отрицательных значениях х в силу нечетности функции
Лапласа Φ(− x) = −Φ( x) .        Используя функцию    Лапласа,      имеем:
P n ( k 1 ≤ k ≤ k 2 ) ≈ Φ(β ) − Φ(α ) .
По условию задачи n = 500; р = 0,9; q=0.1; k 1 = 400; k 2 = 440.
По приведенным выше формулам находим α и β :
      400 − 500 * 0.9                                   440 − 500 * 0.9
α =                      ≈ −7.45 ; β =                                     ≈ −1.49 .
       500 * 0.9 * 0.1                                   500 * 0.9 * 0.1
Тогда
    Р 500 (400 ≤ k ≤ 440) ≈ Φ(− 1.49) − Φ(− 7.45) = −Φ(1.49) + Φ(7.45) =
                           = - 0,4319 + 0,5 = 0,0681.

      Вопросы для самопроверки по темам 1-4

1. Что называется событием? Приведите примеры событий; невозможных
   событий.
2. Какие события называются несовместимыми? Совместимыми? Проти-
   воположными?
3. Что называется относительной частотой события?
4. Сформулируйте классическое определение вероятности события.
5. Что называется условной вероятностью события?
6. Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для зависимых и не-
   зависимых событий.
7. Напишите формулу полной вероятности.
8. Как найти наивероятнейшее число наступлений события при повторных
   испытаниях?
9. Напишите формулу Бернулли. В каких случаях она применяется?
10. Сформулируйте локальную и интегральную теоремы Лапласа.
11. Напишите формулу Пуассона. В каких случаях она применяется?




                                                                                                           9

Страницы