Динамика атмосферы. Аргучинцев В.К. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

10
τ
dSV
Vdiv
s
n
τ
∫∫
→
→
=
0
lim (1.5.1)
Понятие дивергенции векторного поля, как и потока, определено независимо от выбора
системы координат. Однако формула (1.5.1) мало пригодна для вычисления дивергенции. Поэтому
получим выражение дивергенции в декартовых координатах. На основании формулы (1.4.2)
[
]
τ
dSznwynvxnu
Vdiv
s
τ
∫∫
→→
→
→
→
++
=
),cos(),cos(), cos(
lim
0
. (1.5.2)
Согласно теореме Остроградского-Гаусса о переходе от двойного интеграла по поверхно-
сти к тройному интегралам по объему, ограниченному этой поверхностью, имеем
. ),cos(),cos(),cos(
τ
τ
d
z
w
y
v
x
u
dSznwynvxnu
s
∫∫ ∫∫∫
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
++
→→→
(1.5.3)
На основании этой формулы, выражение для дивергенции (1.5.2) можно переписать в сле-
дующем виде:
τ
dτ
z
w
y
v
x
u
Vdiv
τ
∫∫∫
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
→
→
τ
0
lim . (1.5.4)
Пользуясь теоремой, о среднем и переходя к пределу, получим выражение дивергенции
скорости в декартовых координатах
z
w
y
v
x
u
Vdiv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
→
(1.5.5)
В соответствии с формулой (1.5.5) дивергенция скорости может быть представлена как ска-
лярное произведение символического вектора "набла" на вектор скорости
. ),(
→→→
∇= VVdiv
Пользуясь понятием потока и дивергенции векторного поля, формулу Остроградского-
Гаусса (1.5.3) можно переписать в следующем виде: 
                                                             →              ∫∫V dS
                                                                                 n
                                                      div V = lim           s
                                                                                                                          (1.5.1)
                                                                     τ →0        τ

      Понятие дивергенции векторного поля, как и потока, определено независимо от выбора
системы координат. Однако формула (1.5.1) мало пригодна для вычисления дивергенции. Поэтому
получим выражение дивергенции в декартовых координатах. На основании формулы (1.4.2)



                              →
                                          s
                                              [
                                          ∫∫ u cos( n, x) + v cos(n, y) + w cos(n, z )
                                                         →                          →                 →
                                                                                                               ]
                                                                                                               dS
                          div V = lim                                                                                .    (1.5.2)
                                   τ →0
                                                                                τ

      Согласно теореме Остроградского-Гаусса о переходе от двойного интеграла по поверхно-
сти к тройному интегралам по объему, ограниченному этой поверхностью, имеем


                                                                                              ∂u       ∂v       ∂w 
                  ∫∫ u cos(n, x) + v cos(n, y) + w cos(n, z) dS = ∫∫∫  + ∂y + ∂z  dτ .
                              →                   →                     →
                                                                                                                          (1.5.3)
                  s                                                    τ  ∂x         

      На основании этой формулы, выражение для дивергенции (1.5.2) можно переписать в сле-
дующем виде:

                                                                      ∂u       ∂v      ∂w 
                                              →
                                                             ∫∫∫  + ∂y + ∂z dτ
                                                              τ  ∂x         
                                      div V = lim                                                .                        (1.5.4)
                                                      τ →0                      τ

      Пользуясь теоремой, о среднем и переходя к пределу, получим выражение дивергенции
скорости в декартовых координатах

                                                        →
                                                                 ∂u ∂v ∂w
                                                  div V =          +  +                                                   (1.5.5)
                                                                 ∂x ∂y ∂z

      В соответствии с формулой (1.5.5) дивергенция скорости может быть представлена как ска-
лярное произведение символического вектора "набла" на вектор скорости

                                                                 →          →   →

                                                        div V = (∇,V ) .

      Пользуясь понятием потока и дивергенции векторного поля, формулу Остроградского-
Гаусса (1.5.3) можно переписать в следующем виде:




                                                                            10

Страницы