Динамика атмосферы. Аргучинцев В.К. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

11
∫∫∫∫∫
→→→
=
τ
τ
VddivSdV
s
),(
.
Таким образом, теорема Остроградского-Гаусса показывает, что поток векторного поля
скорости через замкнутую поверхность
S равен тройному интегралу от дивергенции этого поля
по объему
τ
, ограниченному поверхностью S .
1.6. Циркуляция вектора скорости
Циркуляция скорости является скалярной величиной, характеризующей общую тенденцию
частиц воздуха, лежащих на произвольном замкнутом контуре, двигаться вдоль этого контура.
Циркуляция скорости выражается криволинейным интегралом по замкнутому контуру, взятому в
движущемся воздухе, от скалярного произведения вектора скорости
→
V на направленный элемент
контура
→
dl .
, ),cos(),(
∫
=
∫
=
∫
=
∧
→→
→→
L
l
LL
dlVdlVVdldlVC
(1.6.1)
где
l
V - проекция вектора скорости
→
V на направление касательной к контуру в данной точке.
Представляя скалярное произведение (
→→
dlV ,) в координатной форме, получим
∫
++=
L
wdzvdyudxC ),( (1.6.2)
где
w
v
u , , - проекции вектора скорости; dzdy,dx, проекции элемента контура
d
l
→
на оси коор-
динат.
Если циркуляция скорости равна нулю, то подынтегральное выражение должно быть пол-
ным дифференциалом некоторой функции
,Φ называемой потенциалом скорости, так что
dΦwdzvdyudx =++ .
Отсюда следует: 
                                              →       →                        →

                                          ∫∫ (V , d S ) = ∫∫∫
                                          s                τ
                                                              div Vdτ .


         Таким образом, теорема Остроградского-Гаусса показывает, что поток векторного поля
скорости через замкнутую поверхность S равен тройному интегралу от дивергенции этого поля
по объему τ , ограниченному поверхностью S .

                           1.6. Циркуляция вектора скорости

         Циркуляция скорости является скалярной величиной, характеризующей общую тенденцию
частиц воздуха, лежащих на произвольном замкнутом контуре, двигаться вдоль этого контура.
Циркуляция скорости выражается криволинейным интегралом по замкнутому контуру, взятому в
                                                                                       →

движущемся воздухе, от скалярного произведения вектора скорости V на направленный элемент
           →

контура dl .

                                          →   →                            ∧
                                                                       →       →
                                C = ∫ (V , dl ) = ∫ Vdl cos(V , dl ) = ∫ Vl dl ,               (1.6.1)
                                     L                L                            L




                                      →

где Vl - проекция вектора скорости V на направление касательной к контуру в данной точке.
                                                          →   →
         Представляя скалярное произведение ( V , dl ) в координатной форме, получим

                                          C = ∫ (udx + vdy + wdz ),                            (1.6.2)
                                                  L




                                                                                           →
где u, v, w - проекции вектора скорости; dx, dy, dz проекции элемента контура dl на оси коор-
динат.
         Если циркуляция скорости равна нулю, то подынтегральное выражение должно быть пол-
ным дифференциалом некоторой функции Φ, называемой потенциалом скорости, так что

                                          udx + vdy + wdz = dΦ .

         Отсюда следует:




                                                                  11

Страницы