Динамика атмосферы. Аргучинцев В.К. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

12
;;
z
Φ
w
y
Φ
v
x
Φ
u
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
= .
В этом случае скорость движения имеет потенциал, производные от которого по координа-
там равняются проекциям вектора скорости на соответствующие оси координат.
1.7. Вихрь скорости
Характеристикой вращательной способности поля скорости в данной точке может служить
плотность циркуляции, т.е. предел отношения циркуляции вектора скорости по замкнутому кон-
туру к площади, ограниченной этим контуром при стягивании его в точку
S
wdzvdyudx
S
dl
V
LL
ss
)(
lim
),(
lim
00
∫
++
=
∫
→
→
→
→
(1.7.1)
В различных плоскостях, проходящих через данную точку поля, плотность циркуляции
скорости будет иметь различную величину. В связи с этим выражение (1.7.1) для плотности цир-
куляции в произвольно выбранной плоскости
S , целесообразно преобразовать при помощи тео-
ремы Стокса, выражающей криволинейный интеграл по замкнутому контуру через двойной инте-
грал по поверхности, ограниченной этим контуром
dSzn
y
u
x
v
ynos
x
w
xn
z
v
y
w
wdzvdyudx
s
L
)cos(
)(c
z
u
)cos(
∂
∂
−
∂
∂
+
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=++
∧
→
∧
→
∧
→
∫∫∫
, (1.7.2)
где
n
- нормаль к поверхности
S
в которой лежит контур
.L
Согласно этой формуле выражение
для плотности циркуляции (1.7.1) можно переписать в следующем виде:
dSzn
y
u
x
v
yn
x
w
z
u
xn
z
v
y
w
S
ldV
S
s
ss
L
),cos(
),cos(
),cos(
1
lim
),(
1
lim
00
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
+
∂
∂
−
∂
∂
=
→→
→
→
→
→
∫∫∫
r
. (1.7.3)
Пользуясь теоремой о среднем, производя сокращения на
S и переходя к пределу, получим 
                                              ∂Φ                ∂Φ      ∂Φ
                                    u=           ;        v=       ; w=    .
                                              ∂x                ∂y      ∂z

      В этом случае скорость движения имеет потенциал, производные от которого по координа-
там равняются проекциям вектора скорости на соответствующие оси координат.

                                              1.7. Вихрь скорости

      Характеристикой вращательной способности поля скорости в данной точке может служить
плотность циркуляции, т.е. предел отношения циркуляции вектора скорости по замкнутому кон-
туру к площади, ограниченной этим контуром при стягивании его в точку

                                              →   →

                                          ∫ (V , dl )           ∫ (udx + vdy + wdz )
                                  lim     L
                                                        = lim   L
                                                                                                (1.7.1)
                                   s →0
                                              S            s →0
                                                                         S

      В различных плоскостях, проходящих через данную точку поля, плотность циркуляции
скорости будет иметь различную величину. В связи с этим выражение (1.7.1) для плотности цир-
куляции в произвольно выбранной плоскости S , целесообразно преобразовать при помощи тео-
ремы Стокса, выражающей криволинейный интеграл по замкнутому контуру через двойной инте-
грал по поверхности, ограниченной этим контуром


                                             ∂ w ∂ v          ∧
                                                                    ∂ u ∂ w       ∧


                    ∫L                 ∫∫s  ∂ y ∂ z  x) +  ∂ z − ∂ x cos(n y) +
                                                               →                   →
                       udx+ vdy+ wdz =            −      cos(
                                                              n

                                                                                            ,   (1.7.2)
                                    ∧ 
                       ∂v ∂u    →
                    +  −  cos(n z) dS
                       ∂ x ∂ y      


где n - нормаль к поверхности S в которой лежит контур L. Согласно этой формуле выражение
для плотности циркуляции (1.7.1) можно переписать в следующем виде:


                               1 → r                 1  ∂ w ∂ v 
                                 ∫ (V , dl ) = lim ∫∫ 
                                                                           →
                        lim                                    −     cos(n, x) +
                         s→0   S L              s →0
                                                     S s  ∂ y ∂ z 
                                                                                       .        (1.7.3)
                          ∂ u ∂ w      →         ∂v ∂u        →     
                         +   −     cos(n, y ) +    −    cos(n, z ) dS
                          ∂ z ∂ x                ∂ x ∂ y            

      Пользуясь теоремой о среднем, производя сокращения на S и переходя к пределу, получим




                                                                    12

Страницы