Динамика атмосферы. Аргучинцев В.К. - 19 стр.

водная в данной точке поля, согласно теореме Лагранжа о конечных приращениях, заменяется от-
ношением конечных разностей и вычисляется ее приближенное значение.
       Рассмотрим метод центральных разностей, наиболее часто применяемый в практике при-
ближенных вычислений.
       Предположим, что задано двумерное поле величины ϕ в узлах некоторой регулярной сетки
                                                          ∂ϕ   ∂ϕ
и требуется в некоторой точке 0 определить производные       и    .
                                                          ∂x   ∂y
       Поместим в точку 0 начало системы координат и опишем около этой точки окружность ра-
диуса r . Точки пересечения окружности с осью x обозначим цифрами 1 и 3, а с осью y - цифра-
ми 2 и 4. (рис.7).




                                               Рис.7

       Тогда производные от ϕ по x и y в точке 0 приближенно можно опpеделить как отноше-
ния конечных разностей вида:

                                ∂ϕ    ϕ − ϕ3      ∂ϕ     ϕ − ϕ4
                                    ≈ 1      ;        ≈ 2     .                 (1.9.1)
                                ∂x  0   2r         ∂y  0    2r


       Такие разности называются центральными в отличие от односторонних, выражаемых соот-
                ∂ϕ    ϕ −ϕ 0
ношениями вида      ≈ 1      .Нетрудно показать, что вычисление производных с помощью
                ∂x  0   r
отношений центральных разностей является более точным, чем с помощью односторонних разно-
стей. Действительно, заменим ϕ и ϕ их тейлоpовскими разложениями:
                                1    3




                                                   19