Динамика атмосферы. Аргучинцев В.К. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

21
.
31
2
2
0
r
xx
x
''
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
ϕϕ
ϕ
Окончательно, для вторых производных получим следующие выражения:
.
2
;
2
2
0
42
2
2
2
031
2
2
0
0
ryrx
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕ
−+
=
∂
∂
−+
=
∂
∂
(1.9.5)
При решении ряда задач часто приходится вычислять сумму вторых пространственных
производных от какой-либо величины. Оператор Лапласа или лапласиан символически обознача-
ется
2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆=∇ (1.9.6)
Очень часто используется двумерный оператор Лапласа
.
2
2
2
2
2
yx ∂
∂
+
∂
∂
=∇ (1.9.7)
На основании выражений (1.9.5) для двумерного лапласиана (1.9.7) получим
. )4(
1
04321
2
2
ϕϕϕϕϕϕ
−+++=∇
r
(1.9.8)
Формулу (1.9.8) удобно записать в несколько ином виде, введя величину, представляющую
среднее арифметическое из значений в четырех точках окружности радиуса r:
)(
4
1
4321
ϕϕϕϕϕ
+++= . (1.9.9)
Тогда формула (1.9.8) примет вид
. )(
4
0
2
2
ϕϕϕ
−=∇
r
Можно легко показать, что эта формула справедлива, если под
ϕ
понимать среднее из зна-
чений не в четырех точках, а в любом числе точек, равномерно расположенных на окружности. 
                                              ∂ϕ   ∂ϕ 
                                                  −      
                                     ∂ 2ϕ   ∂x  1'  ∂x  3'
                                     2 =                       .
                                     ∂x  0          r

       Окончательно, для вторых производных получим следующие выражения:


                        ∂ 2ϕ  ϕ + ϕ 3 − 2ϕ 0                      ∂ 2ϕ   ϕ + ϕ 4 − 2ϕ 0
                        2 = 1                ;                    2  = 2              .   (1.9.5)
                        ∂x  0      r                               ∂y  0      r
                                       2                                            2




       При решении ряда задач часто приходится вычислять сумму вторых пространственных
производных от какой-либо величины. Оператор Лапласа или лапласиан символически обознача-
ется

                                          ∂   ∂   ∂
                                                           2                2           2

                                     ∇ =∆= 2 + 2 + 2
                                       2
                                                                                                (1.9.6)
                                          ∂x  ∂y  ∂z

       Очень часто используется двумерный оператор Лапласа

                                                          ∂     ∂
                                                               2                2

                                             ∇ =               + 2 .
                                                  2
                                                                                                (1.9.7)
                                                          ∂x    ∂y
                                                             2




       На основании выражений (1.9.5) для двумерного лапласиана (1.9.7) получим

                                           1
                                 ∇ϕ=           (ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 − 4ϕ 0 ) .
                                  2
                                                                                                (1.9.8)
                                           r
                                             2




       Формулу (1.9.8) удобно записать в несколько ином виде, введя величину, представляющую
среднее арифметическое из значений в четырех точках окружности радиуса r:


                                     ϕ = 1 (ϕ + ϕ + ϕ + ϕ ) .
                                                      1            2        3       4
                                                                                                (1.9.9)
                                              4

       Тогда формула (1.9.8) примет вид

                                                           4
                                            ∇ϕ=               (ϕ − ϕ 0 ) .
                                             2


                                                          r
                                                            2




       Можно легко показать, что эта формула справедлива, если под ϕ понимать среднее из зна-
чений не в четырех точках, а в любом числе точек, равномерно расположенных на окружности.




                                                                       21

Страницы