Динамика атмосферы. Аргучинцев В.К. - 20 стр.

                                                 ∂ϕ        ∂ 2ϕ  r 2  ∂ 3ϕ  r 3
                        ϕ = ϕ +                    r +  2       +  3      + 0(r 4 ) ;
                                                ∂x  0     ∂x  0 2  ∂x  0 6
                          1           0




                                     ∂ϕ     ∂ 2ϕ  r 2  ∂ 3ϕ  r 3
                        ϕ 3 = ϕ 0 −   r +  2       −  3      + 0(r 4 ) .
                                     ∂x  0  ∂x  0 2  ∂x  0 6

      Пользуясь этими разложениями, получим:

                                      ϕ −ϕ                 ∂ϕ   ∂ ϕ  r
                                                                      3      2
                                           1         3
                                                         =        
                                                                + 3        + 0(r 3 ) ;
                                               2r          ∂x  0  ∂x  0 6
                                      ϕ −ϕ                 ∂ϕ   ∂ ϕ  r
                                                                           2

                                                         =     +  2     + 0(r ) ,
                                           1         0                             2


                                               r           ∂x  0  ∂x  0 2

      или:

                        ϕ −ϕ                ∂ϕ                          ϕ −ϕ               ∂ϕ 
                                          =     + 0( r ) ;                               =     + 0( r ) .
                         1        3                     2                      1       0

                             2r             ∂x  0                                r         ∂x  0

      то есть в первом случае мы имеем аппроксимацию производных со вторым порядком точ-
ности, а во втором - лишь с первым порядком. Поэтому в дальнейшем пространственные произ-
водные будем заменять отношением центральных разностей.
      Горизонтальный градиент скалярной величины определится соотношением

                                                         1 →
                                               ∇ϕ =         [ i (ϕ 1 − ϕ 3 ) + j (ϕ 2 − ϕ 4 )].
                                                                               →
                                                                                                                (1.9.2)
                                                         2r

                                                                    →
      Если спроектировать вектор скорости V на оси координат и найти его проекции u и v в
точках 1, 2, 3 и 4, то горизонтальная дивергенция скорости и вертикальная составляющая вихря
скорости определятся при помощи соотношений:

                                                         →     1
                                                    div V =       (u1 − u 3 + v 2 − v 4 ) ;                     (1.9.3)
                                                               2r

                                                              1
                                                     Ωz =        (v1 − v3 − u 2 + u 4 ) .                       (1.9.4)
                                                              2r

      Чтобы определить вторые производные, возьмем на осях координат промежуточные точки
1', 2', 3', 4', отстоящие от начала координат на расстояние r 2 (рис.7). Применяя последовательно
метод центральных разностей, вначале вычислим первые производные от величины ϕ в этих точ-
ках, а затем вторые производные в точке 0:
                                                                          20