Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений. Аргучинцева А.В. - 24 стр.

                                            n
                                           ∑ xi
                          ~ =X=
                          m              . i =1
                            x
                                     n
     Согласно Закону больших чисел эта оценка является состоя-
тельной, так как при увеличении опытов n величина m~ сходится
по вероятности к m .
     Оценка m ~ является и несмещенной, так как
               x

                   ⎛ n ⎞
                   ⎜ ∑ xi ⎟
   ~ ) = M (X ) = M⎜ i=1 ⎟ = 1 M⎛⎜ x ⎞⎟ = 1 M (X ) = 1 nm = m .
                                  n        n
M (m x                            ∑        ∑
                   ⎜ n ⎟ n ⎝ i=1 i ⎠ n i=1           n
                                                         x   x
                   ⎜      ⎟
                   ⎝      ⎠
     Здесь и в дальнейшем используется условие, что операции
суммирования и математического ожидания перестановочны.


                               ⎛ n ⎞
                               ⎜ ∑ xi ⎟
                        ~ ) = D⎜ i =1 ⎟ = 1 nD = D x
     Дисперсия оценки D(m x                   x      .
                               ⎜ n ⎟ n2          n
                               ⎜      ⎟
                               ⎝      ⎠
     Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида
закона распределения случайной величины Х. Можно доказать,
что если Х распределена по нормальному закону, то дисперсия бу-
дет минимально возможной, т. е. оценка m~ является эффектив-
                                          x
ной. Для других законов распределения это может быть и не так.
     Перейдем теперь к оценке для неизвестной дисперсии D x ге-
неральной совокупности. Наиболее естественной оценкой пред-
ставляется дисперсия выборки D в .
                                     n
                                    ∑ (x i − X )
                                                  2
                       ~            i =1
                       D x = Dв =          .
                                     n
     Проверим, является ли эта оценка состоятельной. Для этого
выразим оценку через начальные оценочные моменты α  ~ (где це-
                                                     k
лочисленный индекс к определяет порядок момента):

                              24