Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений. Аргучинцева А.В. - 25 стр.

                                       ~        ~ −α~2.
                                       D = Dв = α 2  1
    Из Закона больших чисел при n → ∞ оценочные моменты
выборки сходятся по вероятности к соответствующим начальным
моментам генеральной совокупности, т. е. с вероятностью P → 1
~ →α , α~ → α , а потому D ~
α1    1  2    2              x → D x , и мы можем утверждать, что
оценка состоятельна.
                                     ~                ~
        Проверим, является ли оценка D несмещенной: M D = D .          ( )
        Найдем сначала
                                              2                    n
                        n
                                       ⎛ n ⎞      n     n
                       ∑      x i2     ⎜∑ i ⎟
                                            x    ∑ i ∑ i
                                                    x 2
                                                           x 2
                                                                 ∑     xix j
        ~ ~     ~2                   − ⎜ i=1 ⎟ = i=1 − i=1 2 − 2
                       i =1                                      i < j
        D=α 2 − α1 =                                                         =
                            n          ⎜ n ⎟        n    n             n 2
                                       ⎜      ⎟
                                       ⎝      ⎠
                            n
                     ∑ xix j
         n −1 n 2    i< j
        = 2 ∑ xi − 2         .
          n i=1           n2
        Теперь найдем
  ~ n −1 ⎛ n
  ( )             ⎞ 2 ⎛n               ⎞ n −1 n
                                                              ( )
M D = 2 M⎜ ∑ x i2 ⎟ − 2 M⎜⎜ ∑ x i x j ⎟⎟ = 2 ∑ M x i2 − 2 ∑ M (x i x j ).
                                                        2 n
      n  ⎝ i=1 ⎠ n        ⎝ i< j       ⎠ n i=1         n i< j
     Так как дисперсия не зависит от выбора начала координат, то
                        ~ . Так как опыты независимы, то
выберем его в точке X = m x


     M (x i x j ) = M⎜ X i ⎟M⎜ X j ⎟ = K ij = 0 , где M⎜ X i ⎟ и M⎜ X j ⎟
                     ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞                       ⎛ 0 ⎞      ⎛ 0 ⎞
                     ⎝ ⎠ ⎝ ⎠                           ⎝ ⎠        ⎝ ⎠
– математические ожидания центрированных величин, K ij – вто-
рой центральный смешанный корреляционный момент.
                  ~ n −1          n −1
       Поэтому M (D ) = 2 nD x =       Dx .
                        n           n
       Из последнего выражения видим, что оценка по выборке не
является несмещенной для дисперсии генеральной совокупности,
                          ~
т. е., пользуясь оценкой D = D в , мы будем совершать некоторую
систематическую ошибку в меньшую сторону. Чтобы ликвидиро-


                                             25