Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений. Аргучинцева А.В. - 34 стр.

наводит исследователя на мысль о линейной зависимости между
случайными величинами:
                                            y = ax + b .                       (1.4.1)
Коэффициенты a , b в этой зависимости – неизвестны. Найдем их
согласно требованиям метода наименьших квадратов:
                           2
            (              )
      n
Φ = ∑ y i теор − y i эмп        = min , где         yi теор – рассчитанные теорети-
     i =1
ческие,         yi эмп – эмпирические (наблюдаемые) значения величины
Y. Иначе последнее равенство можно записать:
                                      n                    2

                               Φ = ∑ (ax i + b − y i ) = min .                (1.4.2.)
                                     i =1


     Выполняя условие экстремума (минимума), продифференци-
руем (1.4.2) по неизвестным a и b . Получим нормальную систе-
му уравнений:
                        ⎧ ∂Φ         n
                        ⎪⎪ ∂a  = 2 ∑ (ax i + b − y i )x i = 0
                                   i =1                           или
                         ⎨
                            ∂Φ         n
                         ⎪      = 2∑ (ax i + b − y i ) = 0
                         ⎪⎩ ∂b       i =1

                               ⎧ n 2              n         n
                               ⎪⎪ ∑ i
                                  a   x     + b ∑ i ∑ x i yi
                                                     x =
                                ⎨ i =1 n        i =1
                                                         n
                                                          i =1              (1.4.3)
                                ⎪ a ∑ x i + bn = ∑ y i
                                ⎪⎩     i =1            i =1

       Решая (1.4.3), найдем:
   D1      D
a=    , b = 2 , где D – определитель системы; D1 и D 2 – опре-
    D       D
делители, полученные из определителя D путем замены соответ-
ственно первого и второго столбца столбцом свободных членов
системы (1.4.1). Для обеспечения единственности решения должен
определитель системы D ≠ 0 . Подставив найденные коэффициенты
a и b в уравнение (1.4.1), найдем теоретическое уравнение связи.

                                               34