Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений. Аргучинцева А.В. - 57 стр.

           2.6. Положительно определенные функции
     Для убедительности доказательств последующих утвержде-
ний введем понятие положительно определенной функции.
     Функция f(t), удовлетворяющая неравенству

∑ ∑ αi α jf (t i − t j ) ≥ 0 для любых наборов t1, t 2 ,..., t n и любых n ве-
 n n

i =1 j=1

щественных α1 , α2 ,..., α n называется положительно определенной.
     Рассмотрим сумму такого вида для стационарной корреляци-
онной функции K u (τ )

                                                                                2
                 (      )             ⎡o
                                                 (   )⎤         ⎡n                ⎤
   n n                        n n              o                         o
  ∑∑ i j u i j ∑∑ ⎢ i
           α α K  t − t   =         M  U ( t ) U  t    α α
                                                    j ⎥ i j = M ⎢ ∑   α1 U ( t i )⎥ ≥ 0.
  i =1 j=1                  i =1 j=1 ⎣                ⎦         ⎣i =1             ⎦

     Для стационарного случайного процесса начало отсчета мо-
жем принять при t i = t j . Последняя сумма не может быть отрица-
тельной, так как рассматривается математическое ожидание вели-
чины, возведенной в квадрат.
     Таким образом, корреляционная функция стационарного
случайного процесса представляет собою положительно опреде-
ленную функцию.
     Справедливым является и обратное утверждение: всякая по-
ложительно определенная функция является корреляционной
функцией некоторого стационарного случайного процесса.


  2.7. Свойство эргодичности случайных процессов
     Стационарные случайные процессы могут обладать замеча-
тельным свойством, получившим название свойства эргодичности.
Рассмотрим подробнее смысл этого свойства. До сих пор мы опре-
деляли основные характеристики случайного процесса путем ос-
реднения по множеству реализаций. Но возможен и другой способ


                                           57