Методы статистической обработки и анализа гидрометеорологических наблюдений. Аргучинцева А.В. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

85
Умножив каждое из n равенств (3.2.8) на соответствующее
i
a и сложив результаты, получим:
()
()
()
∑∑∑ ∑
=== =
+−=−
n
1i
n
1i
n
1j
n
1i
2
ivijujii0ui
a0KttKaattKa
.
Подставим полученное выражение в (3.2.9).
()()()
()
∑∑∑
===
−−+−−=σ
n
1i
n
1i
n
1j
ijujii0uiun21
2
n
ttKaattKa0Ka,...,a,a
()
+−
∑
=
n
1i
2
iv
a0K
()
()
∑∑ ∑
== =
+−
n
1i
n
1j
n
1i
v
2
iijuji
0KattKaa.
Приводя подобные члены, имеем:
()()()
∑
=
−−=σ
n
1i
i0uiun21
2
n
ttKa0Ka,...,a,a
.
В этом выражении последняя сумма неотрицательна (корре-
ляционная функция положительно определена) и
()
DD0K
uu
==
.
Поэтому ошибка оптимальной интерполяции (экстраполяции) не
превосходит дисперсии случайной функции:
()
Da,...,a,a
n21
2
n
≤σ
, или ,1
D
2
n
≤δ=
σ
т. е. относительная ошибка не превосходит единицы. Окончатель-
но имеем:
()
∑
=
−−=δ
n
1i
i0ui
ttRa1
, (3.2.10)
где
()
(
)
.
D
,
D
ttK
ttR
2
ni0u
i0u
δ=
σ−
=− 
      Умножив каждое из n равенств (3.2.8) на соответствующее
a i и сложив результаты, получим:


                 ∑ a i K u (t 0 − t i ) = ∑ ∑ a i a jK u (t j − t i ) + K v (0)∑ a i2 .
                  n                               n n                                       n

                 i =1                            i =1 j =1                                 i =1

      Подставим полученное выражение в (3.2.9).

      σ2n (a1 , a 2 ,..., a n ) = K u (0) − ∑ a i K u (t 0 − t i ) + ∑∑ a i a jK u (t j − t i ) −
                                                   n                          n n

                                                  i=1                         i=1 j=1




      − K v (0 )∑ a i2 + ∑ ∑ a i a jK u (t j − t i ) + ∑ a i2 K v (0 ) .
                  n            n   n                               n

                 i =1         i =1 j =1                           i =1

      Приводя подобные члены, имеем:

                                                                       n
                        σ2n   (a1, a 2 ,..., a n ) = K u (0) − ∑ a i K u (t 0 − t i ).
                                                                   i =1

     В этом выражении последняя сумма неотрицательна (корре-
ляционная функция положительно определена) и K u (0 ) = D u = D .
Поэтому ошибка оптимальной интерполяции (экстраполяции) не
превосходит дисперсии случайной функции:


                                                                           σ 2n
                   σ 2n (a1 , a 2 ,..., a n ) ≤ D , или                         = δ ≤ 1,
                                                                           D
т. е. относительная ошибка не превосходит единицы. Окончатель-
но имеем:

                                                       n
                                          δ = 1 − ∑ a i R u (t 0 − t i ) ,                        (3.2.10)
                                                    i =1



                                           K (t − t )                      σ2n
где                      R u (t 0 − t i ) = u 0 i ,                            = δ.
                                               D                           D



                                                           85

Страницы