Практика и типовой расчет по экономико-математическим методам. Армер А.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

столбце и максимальное в своей строке. Когда игра решается
в чистых стратегиях, оптимальные стратегии игроков соответ-
ствуют седловой точке — это самый простой случай решения
игры.
Рассмотрим пример. Решить игру с платежной матрицей:
(3.7)
35
36
(3.6)
Найдем верхнюю и нижнюю цены этой игры. Для этого в
соответствии с (3.3) и (3.4) в каждой строке матрицы (3.6)
найдем минимальное значение
а в каждом столбце —
максимальное
Из всех
выберем максимальное значение, оно соответству-
ет третьей строке матрицы (3.7) — это
Нижняя цена игры
выберем минимальное значение, оно соответ-
ствует второму столбцу матрицы (3.7) и равно
Верхняя цена
игры
Нижняя и верхняя цены игры совпадают, следова-
тельно цена игры
а матрица игры (3.7) имеет в третьей
строке и втором столбце седловую точку. Седловой точке соот-
ветствуют оптимальные стратегии
В результате решения игры с платежной матрицей (3.6)
определено, что игроку А необходимо пользоваться стратегией
а игроку В — стратегией
В этом случае цена игры будет
оптимальной и равна
3.2. Решение игр в смешанных стратегиях
Если игра имеет решение в чистых стратегиях — это боль-
шое везение. Большинство платежных матриц практических
игр не имеют седловых точек и в чистых стратегиях не реша-
ются. Для решения таких игр нужны другие способы, дающие
рекомендации оптимального поведения.
Во многих случаях игру, матрица которой не имеет сед-
ловой точки, можно решить
смешанных стратегиях. Сме-
шанные стратегии игрока — это вероятности выбора его актив-
ных стратегий. Для игрока А смешанными стратегиями будут
(3.8)
Для игрока В смешанные стратегии
Сумма вероятностей стратегий для каждого из игроков равна
единице, это говорит о том, что игроки не выходят за рамки
своих активных стратегий.
Благодаря двум следующим теоремам, каждая парная ан-
тагонистическая игра имеет оптимальное решение в смешан-
ных стратегиях. Первая теорема, носящая имя американского
ученого Неймана, считается основной теоремой теории игр.
Теорема Неймана. Каждая конечная парная антагони-
стическая игра имеет решение в чистых или смешанных стра-
тегиях.
Другая теорема об активных стратегиях позволяет ана-
литически получить значения смешанных стратегий.
Теорема об активных стратегиях. Если один из игро-
ков конечной парной антагонистической игры пользуется сво-
ими оптимальными смешанными стратегиями, то его средний

Страницы