Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 116 стр.

                                                    116

                                     ∞

                                     ∫ X (t ) dt = lim X ( P) .
                                     0
                                                                p→ 0
                                                                                                    (4.15)

      Для типового входного сигнала типа                          δ    - функции
                                 ∞                      ∞

                                 ∫ X (t ) dt = ∫ ω (t ) dt = lim W ( P)
                                 0                      0
                                                                         p→ 0
                                                                                         .          (4.16)

      Неудобство интегральной оценки вида (4.14) является то, что она может
использоваться только для апериодических процессов. Если имеем место колеба-
тельный процесс, то используются критерии.
                                                            ∞
                                                J1 =        ∫ X (t ) dt .                           (4.17)
                                                            0

                                                    ∞

                                                    ∫ X (t ) dt
                                                       2
                                             J2 =                        .                          (4.18)
                                                    0

      Более широко используются последний критерий (4.18), называемый квад-
ратичной интегральной оценкой. Это обусловлено возможностью вычисления
этого критерия без непосредственного определения Х(t).
      Для обоснования этого утверждения запишем интеграл (4.18) в виде.
                             ∞
                                       ⎡ 1          ∞
                                                                             ⎤
                             ∫   X (t )⎢            ∫   X (iω ) ⋅ e i ω t dω ⎥ dt .
                             0         ⎣ 2π         0                        ⎦
      В выражение в квадратных скобках - обратное преобразование Фурье от
Х(t). В последней формуле изменим порядок интегрирования
                                  1
                                         ∞
                                                    ⎡∞                      ⎤
                                         ∫   X (iω )⎢ ∫ X (t ) ⋅ e i ω t dt ⎥ dω .
                                 2π      0          ⎣0                      ⎦
      Выражение, стоящее в квадратных скобках есть прямое преобразование
Фурье от Х(t) при замене   ω на −ω , с учетом этого получается формула Рэлея.
                                               ∞                             ∞
                                                               1
                                               ∫   X (t )dt =
                                                        2
                                                                             ∫ X (iω )
                                                                                         2
                                                                                             dω ,   (4.19)
                                               0
                                                              2π             0


где Х ( iω ) - преобразование Фурье от Х (t).