Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

137
где
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
=
−
−
1
:
0
0
,
.......
100:
000
0010
110
2
b
ddd
n
n
I
A
(
2−n
I - единичная матрица размера ()()nn
−
×
−
22, dd d
n01 1
, ,....
−
- коэффициенты
характеристического полинома объекта, задаваемого выражением:
Dp p d p dp d
n
n
n
( ) ......=+ +++
−
−
1
1
10
. (5.63)
Переход от переменной
x
к x
(
осуществляется преобразованием
xΨx
1
(
−
=
, (5.64)
где
1
)....)(.....(
−−−
= bbbbbb
1n1n
.AAAAΨ
(
(
(
(
(
Из структуры матрицы
A
(
следует, что уравнение системы в канонически
управляемой форме (5.62) может быть представлено в символической форме как:
)()()(
1
pupxpD
=
(
. (5.65)
Сравнивая это уравнение и заданный полином с известными корнями харак-
теристического уравнения
p
i
( ) ....
***
pp p dp dpd
i
nn
p
n
−=+ +++=
−
=
∏
1
10
1
0 (5.66)
получим
)()()()()(
1
*
1
pxpDpupxpD
(
(
=− . (5.67)
Разрешая последнее уравнение, относительно
u
p
() будем иметь
[
]
)()()()(
1
*
pxpDpDpu
(
−= . (5.68)
Раскрывая выражение, стоящее в квадратных скобках (5.68), найдем коэф-
фициенты матрицы управления
C
(
112
1
1
)....()( xcpcpcpcpU
n
n
n
n
(
(
(
(
(
++++−=
−
−
, (5.69)
где
cd di n
ii i
=− =
*
, , ....12 .
Принимая во внимание, что
1+
=
ii
xxp
(
(
получим 
                                                       137

                        ⎛ 0              1         0        0      ⎞      ⎛0⎞
                        ⎜                                          ⎟      ⎜ ⎟
                      ( ⎜ 0              0       I n−2     0 ⎟            ⎜0⎟
где                   A=⎜                                           , b =
                            :            0          0      1 ⎟            ⎜:⎟
                        ⎜⎜                                         ⎟      ⎜⎜ ⎟⎟
                         ⎝− d0          − d1     ....... − d n −1 ⎟⎠       ⎝1⎠
I n − 2 - единичная матрица размера ( n − 2 ) × ( n − 2 ) , d 0 , d1 ,.... d n−1 - коэффициенты
характеристического полинома объекта, задаваемого выражением:

                              D( p ) = p n + d n −1 p n −1 + ......+ d1 p + d 0 . (5.63)
                                             (
     Переход от переменной x к x осуществляется преобразованием
                                                         (
                                               x = Ψ −1 x ,                       (5.64)
         (( ( ( (
где Ψ = (b Ab .....A n −1 b )(bAb.....A n −1 b) −1
                                       (
     Из структуры матрицы A следует, что уравнение системы в канонически
управляемой форме (5.62) может быть представлено в символической форме как:
                                     (
                              D( p ) x1 ( p ) = u ( p ) .             (5.65)
        Сравнивая это уравнение и заданный полином с известными корнями харак-
теристического уравнения pi
                            n
                           ∏ ( p − pi ) = p n + d * p n−1 +....+ d1* p + d 0* = 0          (5.66)
                           p =1

получим
                                               (                              (
                                        D( p ) x1 ( p ) − u ( p ) = D * ( p ) x1 ( p ) .   (5.67)
        Разрешая последнее уравнение, относительно u ( p ) будем иметь

                                                       [                  (
                                                                            ]
                                               u ( p) = D( p) − D * ( p ) x1 ( p) .        (5.68)
     Раскрывая выражение, стоящее в квадратных скобках (5.68), найдем коэф-
                               (
фициенты матрицы управления C
                                    (         (                      (       ( (
                        U ( p ) = −(c n p n + c n −1 p n −1 + .... + c 2 p + c1 ) x1 , (5.69)

где ci = d i* − d i , i = 1,2.... n .
                                   (    (
        Принимая во внимание, что pxi = xi +1 получим

Страницы