Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 19 стр.

                                       19

     Для упрощения решения этой задачи ищут ее приближенное решение в
предположении, что    F ( X, U) есть линейная функция по X . Следовательно,
точность приближенного решения уравнения (1.12) будет определяться погреш-
ностями линеаризации (1.14).
     Из курса    математики известно,       что линеаризация нелинейности вида:
F (X, U )     или    X = f (U ) осуществляется в окрестностях какой-либо точ-
ки X 0 , U 0 удовлетворяющей уравнению (1.14).
     Обычно в качестве такой точки выбирается точка статической характери-
стики объекта, соответствующая номинальным значениям U 0 .
     Для заданных U 0       путем решения системы алгебраических уравнений

(1.14) находят X 0 . Затем в окрестностях этой точки осуществляют линеаризацию

нелинейной зависимости     F (X, V ) = 0 . Либо методом малых отклонений, либо
методом линеаризации в среднем.
     Первый метод основан на разложении функции X = f (U ) в ряд Тейлора в
окрестностях точки X 0 , U 0 , с последующим отбрасыванием членов разложения
выше второго порядка. Линеаризованное уравнение (1.13) запишется в виде:
                                  J (ΔX + ΔU ) = 0 ,                       (1.15)
где J - функциональная матрица или якобиан функции F ( X, U) в точке X 0 , U 0 ;

ΔX = X − X 0 ; ΔU = U − U 0 - малые приращения векторов X и   U.
                                                  dX dΔ X
     Подставляя (1.15) в (1.12) и учитывая, что      =        получим линеари-
                                                  dt   dt
зованную систему дифференциальных уравнений:
                                   dΔ X
                                        = AΔ X + BΔU ,                     (1.16)
                                    dt
где А и В квадратная и прямоугольная матрицы, определяемые свойствами яко-

биана функции F (X, U ) и размерностью векторов X и      U.