Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

20
Область применения такого метода линеаризации ограничена малыми от-
клонениями переменных
X
и
U
от установившихся значений и условиями
существования якобиана функции
(
)
UX,F
, для чего необходимо условие диффе-
ренцируемости этой функции.
В том случае, если последнее условие не выполняется, т.е. функция
()
UX,F
имеет точки разрыва второго рода, используют метод линеаризации в
среднем.
Сущность этого метода заключается в аппроксимации нелинейной функ-
ции линейной зависимостью в заданном диапазоне изменения обобщенных ко-
ординат
X
. В качестве метода аппроксимации обычно используют метод наи-
меньших квадратов. Линеаризованная система имеет вид (1.16), однако вычис-
ление коэффициентов матриц
А и В осуществляется по методу наименьших
квадратов.
В соответствии с этим методом вводят вспомогательную функцию
Φ
, оп-
ределяемую как квадрат разности заданной нелинейной функции )(
U
f
X = и
линейной зависимости
X
k
U
b=
+
на интервале [
UU
12
]
() ()
()
Φ kb fU kU b dU
U
U
, =−−
∫
2
1
2
.
Функция зависит только от неизвестных коэффициентов
и
b
.
Минимизируя
Φ
по неизвестным коэффициентам
и
b
можно найти их
конкретные значения из следующей системы линейных алгебраических уравне-
ний:
∂
∂
∂
∂
ΦΦ
kb
==00;
.
В качестве примера линеаризуем участок параболы
X
U=
2
на интерва-
ле U от 0 до 1. 
                                        20

       Область применения такого метода линеаризации ограничена малыми от-

клонениями переменных      X   и   U   от установившихся значений и условиями
существования якобиана функции F (X, U ) , для чего необходимо условие диффе-
ренцируемости этой функции.
       В том случае, если последнее условие не выполняется, т.е. функция
F (X, U )    имеет точки разрыва второго рода, используют метод линеаризации в
среднем.
       Сущность этого метода заключается в аппроксимации нелинейной функ-
ции линейной зависимостью в заданном диапазоне изменения обобщенных ко-
ординат     X . В качестве метода аппроксимации обычно используют метод    наи-
меньших квадратов. Линеаризованная система имеет вид (1.16), однако вычис-
ление коэффициентов матриц А и В осуществляется по методу наименьших
квадратов.
       В соответствии с этим методом вводят вспомогательную функцию Φ , оп-
ределяемую как квадрат разности заданной нелинейной функции X = f (U )        и

линейной зависимости     X = kU + b    на интервале [ U 1U 2 ]
                                     U2
                                                          2
                          Φ( k , b) = ∫ ( f (U ) − kU − b) dU .
                                     U1

       Функция зависит только от неизвестных коэффициентов k и b .
       Минимизируя Φ по неизвестным коэффициентам k и b можно найти их
конкретные значения из следующей системы линейных алгебраических уравне-
ний:
                               ∂Φ                ∂Φ
                                  =0         ;      = 0.
                               ∂k                ∂b

        В качестве примера линеаризуем участок параболы     X =U2    на интерва-
ле U от 0 до 1.

Страницы