Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

24
где
mn
bbbaaa ,,,;,,,
1010
KK
- постоянные коэффициенты; n - порядок систе-
мы.
Для реальных физически реализуемых систем управления m < n .
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-ого порядка (1.21)
эквивалентно системе n линейных уравнений первого порядка (1.20). Для того
,чтобы установить правила перехода от (1.19) к (1.21) примем в (1.20)
XYff f
nk
=== =; ......
12
0 и ограничимся рассмотрением системы второго по-
рядка без учета третьего уравнения системы (1.19).
.
;
2122121
1112111
1
UbYaXa
dt
dY
UbYaXa
dt
dX
++=
++=
(1.22)
Продифференцируем второе уравнение (1.22)
dt
dU
b
dt
dY
a
dt
dX
a
dt
yd
2122
1
21
2
2
++=
.
Подставим сюда
dX
dt
1
из первого уравнения системы (1.22). После пре-
образований получим:
dY
dt
a
dY
dt
aaY aaX abU b
dU
dt
2
2
22 21 12 21 11 1 21 11 21
−− = + +
. (1.23)
Выразим X
1
из второго уравнения системы (1.22) и подставим его в (1.23).
Окончательно будем иметь линейные неоднородное дифференциальное уравне-
ние 2-го порядка.
()()()
Ubaba
dt
dU
bYaaaa
dt
dY
aa
d
t
Yd
2111112121122122112211
2
2
−+=−++−
. (1.24)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых производных, получим соот-
ношения между коэффициентами уравнений (1.21) и (1.24) 
                                              24

где   a0 ,a1 ,K, an ; b0 , b1 ,K, bm - постоянные коэффициенты; n - порядок систе-
мы.
         Для реальных физически реализуемых систем управления m < n .
       Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-ого порядка (1.21)
эквивалентно системе n линейных уравнений первого порядка (1.20). Для того
,чтобы установить         правила    перехода      от   (1.19)       к (1.21) примем в (1.20)
X n = Y ; f 1 = f 2 =...... f k = 0 и ограничимся рассмотрением системы второго по-
рядка без учета третьего уравнения системы (1.19).
                                 dX 1
                                      = a11 X 1 + a12Y + b11U ;
                                  dt                                                   (1.22)
                                 dY
                                      = a 21 X 1 + a 22 Y + b21U .
                                  dt
       Продифференцируем второе уравнение (1.22)

                                 d2 y        dX 1        dY       dU
                                      = a 21      + a 22    + b21                 .
                                 dt 2         dt         dt        dt
                              dX 1
       Подставим сюда              из первого уравнения системы (1.22). После пре-
                               dt
образований получим:

           d 2Y           dY                                       dU
                  − a22      − a21a12Y = a21a11 X1 + a21b11U + b21    .                (1.23)
           dt 2           dt                                       dt
       Выразим X1 из второго уравнения системы (1.22) и подставим его в (1.23).
Окончательно будем иметь линейные неоднородное дифференциальное уравне-
ние 2-го порядка.

       d 2Y                dY                             dU
            − (a11 + a22 )    + (a11a22 − a21a12 )Y = b21    + (a21b11 − a11b21 )U .   (1.24)
       dt 2                dt                             dt
       Приравнивая коэффициенты при одинаковых производных, получим соот-
ношения между коэффициентами уравнений (1.21) и (1.24)

Страницы