Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 26 стр.

                                                               26

       В случае использования уравнения (1.21) характеристическое уравнение по-

лучается после подстановки в него какого-либо частного решения Y = Ci e pt . По-
сле преобразований получим:

                                       a 0 p n + a1 p n −1 +.........+ a1 p + a n = 0 .                                      (1.29)
       Нетрудно убедиться, что уравнения (1.22) и (1.24), представленные в раз-
личной форме записи имеют одно и тоже характеристическое уравнение.
       Для вычисления частного решения применяют либо метод вариации произ-
вольных постоянных, либо метод Коши [3] .
       В теории автоматического регулирования наиболее распространен опера-
торный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на преобразо-
вании Лапласа [3,4].
       Используя свойства преобразования Лапласа, можно решить систему (1.20).
Для этого запишем ее в развернутом виде
        dX 2
             = d 21 X 1 (t ) + d 22 X 2 (t ) + K d 2 n X n (t ) + e 21 f 1 (t ) + e 22 f 2 (t ) + K e 2 m f m (t ) ;
         dt
                                  M                 M                  M                 M                M                  (1.30)
        dX n
             = d n1 X 2 (t ) + d n 2 X 2 (t ) + K d n n X n (t ) + e n1 f 1 (t ) + e n 2 f 2 (t ) + K e n m f m (t ) .
         dt

       Начальные               значения            обобщенных                 координат              заданы              в    виде
X 1 ( 0), X 2 (0).... X ( n ( 0) .
       Подвергая систему уравнений преобразованию Лапласа, получим систему
линейных алгебраических уравнений:
               (P − d11) ⋅ X1(P) −K− d1n Xn(P) = e11 f1(P) +K+ e1m fm(P) + X1(0)
     − d21X1(P) + (P − d22) ⋅ X2(P) −K− d2n Xn (P) = e21 f1(P) + e22 f2(P) +Ke2m fm(P) + X2(0);
                                                                                                                             ( 1.31)
                                                          MMMM
    − dn1X1(P) − dn2 X2(P) −K+ (P − dnn )Xn (P) = en1 f1(P) + en2 f2(P) +K+ enm fn (P) + Xn (0).