Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

40
() ( ) ( )
yt t X d
t
=−
∫
ωτττ
0
. (1.54)
Функция
ω
(t) определяемая как обратное преобразование Лапласа от пере-
даточной функции называется функцией веса, а выражение (1.53) интегралом
Дюамеля. Функция веса, таким образом, представляет собой обратное преобразо-
вание Лапласа от передаточной функции и также характеризует динамические
свойства системы. Однако в отличии от передаточной функции она являясь функ-
цией времени, может непосредственно наблюдаться и,
следовательно, может
быть определена из эксперимента.
Из выражения (1.54) найдем, каким должен быть сигнал на входе системы
X(t), чтобы его выходной сигнал являлся функцией веса. Для этого заменим Y(t)
на
ω
(t), а X(t) на
δ
(t)
() ( ) ( )
ωωτδττ
tt d
t
=−
∫
0
. (1.55)
Используя вторую теорему о среднем значении определенного интеграла [2]
можно записать:
( ) () () () () ()
ω τδτ τ ω δτ τ ω δτ τ
ξ
ξ
tdtd d
tt
−= +
∫∫∫
00
0
. (1.56)
Выражение (1.56) будет равно (1.55) только в том случае если при любом
0 ≤≤∞
ξ
()
∫
=
∞→
ξ
ξ
ττδ
0
1lim d
. (1.57)
Это предел существует, если
δ
(t) принимает следующие значения
()
⎩
⎨
⎧
≠
=
∞
=
.00
;0
tпри
tпри
t
δ
(1.58)
и называется дельта-функцией, или функцией Дирака. 
                                                   40

                                                          t
                                                  y(t ) = ∫ ω (t − τ ) X (τ )dτ .         (1.54)
                                                         0

        Функция    ω (t) определяемая как обратное преобразование Лапласа от пере-
даточной функции называется функцией веса, а выражение (1.53) интегралом
Дюамеля. Функция веса, таким образом, представляет собой обратное преобразо-
вание Лапласа от передаточной функции и также характеризует динамические
свойства системы. Однако в отличии от передаточной функции она являясь функ-
цией времени, может непосредственно наблюдаться                          и, следовательно, может
быть определена из эксперимента.
        Из выражения (1.54) найдем, каким должен быть сигнал на входе системы
X(t), чтобы его выходной сигнал являлся функцией веса. Для этого заменим Y(t)
на   ω (t), а X(t) на δ (t)
                                               t

                                      ω (t ) = ∫ ω (t − τ )δ (τ )dτ .                     (1.55)
                                               0

        Используя вторую теорему о среднем значении определенного интеграла [2]
можно записать:
                         t                               ξ                    t

                         ∫ ω (t − τ )δ (τ )dτ = ω (t )∫ δ (τ )dτ + ω (0)∫ξ δ (τ )dτ .
                         0                               0
                                                                                          (1.56)

        Выражение (1.56) будет равно (1.55) только в том случае если при любом

0≤ξ ≤ ∞
                                                   ξ
                                           lim ∫ δ (τ )dτ = 1 .                           (1.57)
                                           ξ →∞
                                                   0


        Это предел существует, если        δ (t) принимает следующие значения
                                                             ⎧∞ при t = 0;
                                               δ (t ) = ⎨                                 (1.58)
                                                             ⎩ 0 при t ≠ 0.
и называется дельта-функцией, или функцией Дирака.

Страницы