Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 57 стр.

                                                      57

каждого элемента x ∈ R и для каждого числа α определено произведение αx ∈ R ,
причем выполнены следующие условия:
      1. x + y = y + x для всех x, y ∈ R
      2. (x + y ) + z = x + (y + z ) для всех x, y, z ∈ R .
      3. Существует такой (нулевой) элемент 0 ∈ R , что x + 0 = x для всех элемен-
тов x ∈ R .
      4. Для каждого элемента x ∈ R существует такой элемент − x (называемый
противоположными к x ), что x + (−x) = 0
      5. 1 • x = x для всех x принадлежавших R .
      6. α ( βx) = (αβ )x для всех α , β ∈F и x ∈ RR .
      7. (α + β )x = αx + βx для всех α , β ∈F и x ∈ R .
      8. α (x + y ) = αx + αy для всех α ∈ F и x, y ∈ R .
      Элементы векторного пространства называются векторами.
      Векторы x1, x2,...xh, векторного пространства R называются линейно зависи-
мыми, если существуют такие числа a1 , a 2 ,...a k , не равные одновременно нулю,

что
                                          a1 x 1 + a 2 x 2 + ..... + a k x k = 0.                        (2.21)
      Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно неза-
висимыми, что выполняется, если уравнение (2.21) удовлетворяется только в слу-
чае равенства нулю всех скаляров ai .
      Критерий линейной зависимости множества векторов с действительными
компонентами может быть выражен аналитически в виде определителя Грама
или грамиана множества векторов. Умножая обе части уравнения (2.21) на x1, x2
,…..xk и образуя последовательные скалярные произведения, можно показать, что
коэффициенты ai должны удовлетворять следующим уравнениям:
                    a1 (x i x 1 ) + a 2 (x i x 2 ) + .... + a i (x i x i ) + .... + a k (x i x k ) = 0   (2.22)