Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 58 стр.

                                              58

для i=1,2,……k. Выражение (x i x j ) означает скалярное произведение векторов xi

на xj. Эти уравнения выражают требование ортогональности левой части уравне-
ния (2.21) одновременно к каждому из векторов x1, x2 ,…..xk . Согласно правилу
Крамера эта система k уравнений относительно k неизвестных коэффициентов ai
имеет нетривиальное решение только тогда, когда определитель Грама равен ну-
лю.
                               (x 1 x 1 ), (x 1 x 2 ),......(x 1 x k )
                               (x 2 x 1 ), (x 2 x 2 ),......(x 2 x k )
                          G=                                             = 0.   (2.23)
                               ...................................
                               (x k x 1 ), (x k x 2 ),......(x k x k )

      Отсюда следует, что множество векторов является линейно зависимым то-
гда и только тогда, когда его грамиан равен нулю. Эта теорема справедлива и для
векторов с комплексными переменными, если в (2.23) скалярные произведения
векторов заменить эрмитовыми скалярными произведениями.
      Векторное пространство R называется n-мерным, если в нем можно найти n
линейно независимых векторов, но больше чем n линейно независимых векторов
оно не содержит.
      Размерность пространства - это максимальное число содержащихся в нем
линейно независимых векторов. Пространство, имеющее конечную размерность,
называется конечномерным. Пространство, в котором можно найти сколь угодно
много линейно независимых векторов называется бесконечномерным.
      Говорят, что множество векторов x1, x2 ,…..xk из векторного пространства R
порождает R, если каждый вектор в R может быть записан в виде линейной ком-
бинации векторов x1, x2 ,…..xk . Это множество векторов называют порождающим
множеством. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного вектор-
ного пространства R называется его базисом. Каждый вектор xi линейного n-
мерного пространства R можно представить, и притом единственным способом, в