Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

59
виде линейной комбинации векторов базиса. Однако конечномерное векторное
пространство может обладать различными базисами.
Пусть дано множество базисных векторов
x
1
, x
2
,…..x
k
для векторного про-
странства
R и любой другой вектор 0
≠
у
из R, который может быть записан в ви-
де линейной комбинации векторов
x
i
∑
=
=
k
i
ii
x
1
λ
у . (2.24)
Тогда, если из множества
x
1
, x
2
,…..x
k
исключить любой вектор x
i
, для кото-
рого 0
≠
i
λ
и вектор у добавить в множество, То получится новое множество к
векторов, которые тоже образуют базис для векторного пространства
R.
Векторы из
n-мерного векторного пространства R не равные нулю, называ-
ются ортогональными, если их скалярные произведения равны нулю. Пусть
x
1
, x
2
,…..x
n
– ортогональная система векторов. Тогда
.для)(
;для0)(
2
ji
ji
==
≠
=
iji
ji
xxx
xx
(2.25)
Систему векторов называют ортогональной, если любые два вектора систе-
мы ортогональны друг другу. Векторы ортогональной системы линейно незави-
симы.
Множество n взаимно ортогональных векторов единичной длины векторно-
го пространства R образуют ортогональный базис этого пространства.
2.4. Линейные преобразования в пространстве состояний
Пусть в векторном пространстве (пространстве состояний) R
задан базис
x
1
, x
2
,…..x
k
. Этот базис может быть получен из другого базиса с помощью ли-
нейного преобразования
kiytx
k
j
jiji
,...2,1
1
==
∑
=
, 
                                               59

виде линейной комбинации векторов базиса. Однако конечномерное векторное
пространство может обладать различными базисами.
        Пусть дано множество базисных векторов x1, x2 ,…..xk для векторного про-
странства R и любой другой вектор у ≠ 0 из R, который может быть записан в ви-
де линейной комбинации векторов xi
                                                       k
                                               у = ∑ λi xi .                   (2.24)
                                                      i =1

        Тогда, если из множества x1, x2 ,…..xk исключить любой вектор xi , для кото-
рого λ i ≠ 0 и вектор у добавить в множество, То получится новое множество к
векторов, которые тоже образуют базис для векторного пространства R.
        Векторы из n-мерного векторного пространства R не равные нулю, называ-
ются ортогональными, если их скалярные произведения равны нулю. Пусть x1, x2
,…..xn – ортогональная система векторов. Тогда
                                   (x i x j ) = 0 для i ≠ j ;
                                                        2
                                                                               (2.25)
                                   (x i x j ) = x i          для i = j .

        Систему векторов называют ортогональной, если любые два вектора систе-
мы ортогональны друг другу. Векторы ортогональной системы линейно незави-
симы.
        Множество n взаимно ортогональных векторов единичной длины векторно-
го пространства R образуют ортогональный базис этого пространства.


                 2.4. Линейные преобразования в пространстве состояний


        Пусть в векторном пространстве (пространстве состояний) R задан базис
x1, x2 ,…..xk . Этот базис может быть получен из другого базиса с помощью ли-
нейного преобразования
                                         k
                                  x i = ∑ t ij y j           i = 1,2,...k ,
                                        j =1

Страницы