Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 61 стр.

                                              61

                           ⎧a11 x1 + a12 x 2 + .... + a1n x n = λx1 ;
                           ⎪a x + a x + .... + a x = λx ;
                           ⎪ 21 1          22 2                 2n n       2
                           ⎨                                                      (2.28)
                           ⎪..............................................
                           ⎪⎩a n1 x1 + a n 2 x 2 + .... + a nn x n = λx n ;

или в векторной форме
                                                     Ax = λx                      (2.29)
     Такая система уравнений получается при подстановке в дифференциальные
уравнения системы (2.8) какого-нибудь их частного решения. К такой системе
сводится вычисление установившихся режимов работы системы (2.8). По сути
уравнения (2.28) отображают базис x1, x2 ,…..xk сам в себя и поэтому характери-
зуют свойства такого отображения, или свойства матрицы А, соответствующей
этому отображению.
     В линейной алгебре эта задача известна как задача вычисления собственных
значений и собственных векторов матрицы, задающей линейное преобразование.
Значения параметра λ , для которых существуют нетривиальные (ненулевые) ре-
шения (2.29), называются собственными значениями матрицы А. Соответствую-
щие им векторные решения (2.29) называют собственными векторами матрицы А.
Столбец, составленный из элементов собственного вектора, для конкретного зна-
чения λ i , называют модальным столбцом.
     Перенеся правую часть уравнения (2.29)влево, получим
                                       ( A − λI ) x = 0 ,                         (2.30)
где I – единичная матрица.
     Это уравнение обладает нетривиальным решением только тогда, когда его
определитель равен нулю
                                   a11 − λ         a12      ...    a1n
                                     a 21      a 22 − λ ...        a 2n
                        A − λI =                                           = 0.   (2.31)
                                      ...          ...      ...     ...
                                     a n1          a n2     ... a nn − λ