Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

73
будет иметь единственное решение в то и только том случае если ранг матрицы
В
равен n. Если размерность вектора )(
t
u меньше размерности вектора )(
t
x , то не-
обходимое и достаточное условие полной управляемости по Калману примет вид:
nRank =
−
)( B)B)...(AB(AB)(A
1n2
, (2.44)
где
[
]
)BB)...(AB(AB)(AU
1n2 −
= - матрица управляемости.
В противном случае система не вполне управляема. Причем степень не-
управляемости может быть по величине
q равной
))( BB)...(AB(AB)(A
1n2 −
−= Ranknq (2.45)
В качестве примера рассмотрим критерий управляемости двигателя посто-
янного тока с двухзонным регулированием (одновременное регулирование, как
по цепи якоря, так и по цепи возбуждения).
Система уравнений для рассматриваемого случая будет выглядеть:
.
;
;
213
3212
2
11
1
J
xkIxkI
d
t
dx
L
xkIRxxku
dt
dx
L
xRu
dt
dx
bnn
bnn
b
b
+
=
−−−
=
−
=
ω
Или после преобразований
;
00
0
0
;
0
00
;
;
;
22
11
3231
232221
11
232131
3
222323222121
2
111111
1
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+=
+++=
+=
b
b
aa
aaa
a
xaxa
dt
dx
ubxaxaxa
dt
dx
ubxa
dt
dx
BA
Запишем выражение для матрицы
U, в соответствии с формулой (2.44). 
                                             73

будет иметь единственное решение в то и только том случае если ранг матрицы В
равен n. Если размерность вектора u(t ) меньше размерности вектора x(t ) , то не-
обходимое и достаточное условие полной управляемости по Калману примет вид:
                            Rank (B(AB)(A 2 B)...(A n −1 B)) = n ,            (2.44)

        [                     ]
где U = B(AB)(A 2 B)...(A n −1 B) - матрица управляемости.
     В противном случае система не вполне управляема. Причем степень не-
управляемости может быть по величине q равной

                           q = n − Rank (B(AB)(A 2 B)...(A n −1 B))           (2.45)
     В качестве примера рассмотрим критерий управляемости двигателя посто-
янного тока с двухзонным регулированием (одновременное регулирование, как
по цепи якоря, так и по цепи возбуждения).
      Система уравнений для рассматриваемого случая будет выглядеть:
                             dx1 u1 − Rb x1
                                =           ;
                             dt      Lb
                             dx 2 u 2 − kω n x1 − Rx 2 − kI bn x 3
                                 =                                 ;
                              dt                   L
                             dx 3 kI n x1 + kI bn x 2
                                 =                    .
                              dt          J
       Или после преобразований
                           dx1
                                = a11 x1 + b11u1 ;
                           dt
                           dx 2
                                = a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + b22 u 2 ;
                            dt
                           dx 3
                                = a 31 x1 + a 32 x 2 ;
                            dt
                                ⎛ a11 0          0 ⎞         ⎛ b11 0 ⎞
                                ⎜                     ⎟      ⎜            ⎟
                           A = ⎜ a 21 a 22 a 23 ⎟; B = ⎜ 0 b22 ⎟;
                                ⎜a                    ⎟      ⎜ 0      0 ⎟⎠
                                ⎝ 31 a 32 0 ⎠                ⎝
     Запишем выражение для матрицы U, в соответствии с формулой (2.44).

Страницы