Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 76 стр.

                                         76

        Введём отклонение координат Δx = x 1 − x 0 ‚ характеризующее разность
между возмущенным и невозмущенным движениями системы. Выражая x 1 через
x 0 и Δx , после подстановки его в (3.2) получим дифференциальное уравнение
системы записанное для отклонений:
                              d ( Δx )
                                       = F (x 0 + Δx) − F (x 0 ).          (3.3).
                                 dt
     Это уравнение возмущенного движения. Его тривиальное решение Δx = 0
соответствует невозмущенному движению, так как в этом случае x 0 = x 1 .
     Начальные значения Δx(t 0 ) носят название возмущений. Решение уравне-
ния (3.3) при Δx ≠ 0 представляет собой возмущенное движение.
     А. М. Ляпунов дал следующее определение устойчивости. Невозмущенное
движение называется устойчивым по отношению к переменным x , если при вся-
ком заданном положительном числе А2, как бы мало оно не было, можно вы-

брать другое положительное число δ 2 так, что для всех возмущений, удовлетво-
ряющих условию:
                                           Δx(t 0 ) ≤ δ                    (3.4)

возмущенное движение (3.3) будет в промежутке времени t 0 ≤ t ≤ ∞ удовлетво-
рять неравенству:
                                              Δx(t 0 ) ≤ A                 (3.5)

     Если с течением времени Δx(t ) стремится к нулю, то система называется
асимптотически устойчивой.
     Геометрическая интерпретация устойчивости показана на рис. 3.1.
     Отметим, что условие устойчивости, доказанное Ляпуновым будет спра-
ведливо, если имеется возможность перехода к дифференциальным уравнени-
ям записанным в отклонениях (3.3). Очевидно, что такой переход возможен толь-
ко в случае линейных или линеаризуемых систем, причем линеаризация осуще-