Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 77 стр.

                                                            77

ствляется в окрестностях точки невозмущенного движения при малых отклонени-
ях Δx .
       Линеаризуя (3.3) , можно записать:
                                        n
                                dxi
                                    = ∑ a ij x j + ψ (t ; x1 , x 2 ,..... x n ) i = 1,2,.... n              (3.6)
                                 dt   j =1

                     x3                                                  x3
                                  x 0 (t )                                                       x 0 (t )

                                                            A


                    δ                                  x1                                         x1 (t ) x1


                                     x1 ( t )
          x2                                                      x2
           Устойчивое движение                                  Асимтотически устойчивое движение

                                                            Рис 3.1.
           Первая теорема Ляпунова дает определение достаточное условие устой-
чивости при малых отклонениях системы от ее невозмущенного движения, или
определение устойчивости " в малом " и формулируется следующим образом:
       Пусть все корни характеристического уравнения линеаризованной системы
(3.6), без учета второго слагаемого ψ i (t ; x1 , x 2 ,... x n ) , имеют отрицательную дей-
ствительную часть и все функции ψ i (t ; x1 , x 2 ,... x n ) удовлетворяют условию
                                                1
                                                  +α
                                 ⎧⎪ n 2      ⎫⎪ 2
ψ i (t ; x1 , x 2 ,... x n ) ≤ M ⎨∑ xi ⎬               , причем M - постоянная и α > 0 .
                                  ⎪⎩ i =1 ⎪⎭

       Тогда тривиальное решение системы (3.2) устойчиво.
       Наиболее просто можно судить об устойчивости линейных систем.