Основы теории линейных систем автоматического управления. Артамонов Д.В - 79 стр.

                                            79

      Для линейной системы уравнения её движения в                      пространстве состоя-
ний можно представить в следующем виде:
                                                 dX
                                                    = AX ,                             (3.7)
                                                 dt

                            ⎛ a11      a12 K a1n ⎞
                            ⎜                       ⎟
                            ⎜a         a 22 K a 2 n ⎟
                        A = ⎜ 21
где
                               L       L L L ⎟.
                            ⎜⎜                      ⎟⎟
                             ⎝ a n1    a n 2 L a nn ⎠
      Квадратная матрица размером n × n
      Или в развернутой форме:
                                 dX 1
                                      = a11 X 1 + a12 X 2 + K a1n X n
                                  dt
                                 dX 2
                                      = a 21 X 1 + a 22 X 2+ K a 2 n X n
                                  dt                                                   (3.8)
                                 KKKKKKKKKKKKKK
                                 dX n
                                      = a n1 X 1 + a n 2 X 2 + K a nn X n
                                  dt
      Из математического анализа известно, что любое частное решение одно-
родной системы (3.8) вида:

                                                  X i = eλ i t ,                       (3.9)
будет обращаться в тождество, где λ i произвольные числа.
      Подставляем в (3.8) частное решение (3.9) и после очевидных преобразо-
ваний получим следующую систему               линейных         однородных алгебраических
уравнений из которых можно найти λ i

                  ⎧ (a11 − λ 1) x1 + a12 x 2 + a13 x3 + K a1n x n = 0;
                  ⎪ a x + (a − λ ) x + a x + K a x = 0;
                  ⎪⎪ 21 1            22      2    2    23 3        2n n

                   ⎨ a31 x1 + a 32 x 2 + (a 33 − λ 3 ) x3 + K a 3n x n = 0;           (3.10)
                   ⎪                        LLLLL
                   ⎪
                   ⎪⎩a n1 x1 + a n 2 x 2 + a n 3 x3 + K + (a nn − λ n ) x n = 0.